সৃজনশীলঃ ‘(i) (3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+………(ii) A=(1+x5)n…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) $(3 x + 1)^{- 1} + (3 x + 1)^{- 2} + (3 x + 1)^{- 3} + \dots \dots \dots$
(ii) $A = {(1 + \frac{x}{5})}^{n}$ একটি দ্বিপদী রাশি।

উত্তর:

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো :

$(3 x + 1)^{- 1} + (3 x + 1)^{- 2} + (3 x + 1)^{- 3} + \dots \dots$

$= \frac{1}{3 x + 1} + \frac{1}{(3 x + 1)^{2}} + \frac{1}{(3 x + 1)^{3}} + \dots$

$x = \frac{1}{3}$ হলে, ধারাটি হবে :

$\frac{1}{3 \cdot \frac{1}{3} + 1} + \frac{1}{{(3 \cdot \frac{1}{3} + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 \cdot \frac{1}{3} + 1)}^{3}} + \dots . = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots \dots$

ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{2}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{2^{2}} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{2}} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2} < 1$

$∴$ সপ্তম পদ $= {ar}^{7 - 1} = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{6} = {(\frac{1}{2})}^{7} = \frac{1}{2^{7}} = \frac{1}{128}$

নির্ণেয় সপ্তম পদ $\frac{1}{128}$ .

উত্তর:

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো :

$(3 x + 1)^{- 1} + (3 x + 1)^{- 2} + (3 x + 1)^{- 3} + \dots \dots \dots$

$= \frac{1}{3 x + 1} + \frac{1}{(3 x + 1)^{2}} + \frac{1}{(3 x + 1)^{3}} + \dots \dots \dots$

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{3 x + 1}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{(3 x + 1)^{2}}}{\frac{1}{3 x + 1}} = \frac{1}{(3 x + 1)^{2}} \times (3 x + 1) = \frac{1}{3 x + 1}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r|<1 হয় অর্থাৎ, - $1 < r < 1$

বা, $- 1 < \frac{1}{3 x + 1} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{3 x + 1}$

বা, $- 1 > 3 x + 1$

বা, $3 x + 1 < - 1$

বা, $3 x < - 1 - 1$

বা, $3 x < - 2$

বা, $x < - \frac{2}{3}$

আবার, $\frac{1}{3 x + 1} < 1$

বা, $3 x + 1 > 1$

বা, $3 x > 1 - 1$

বা, $3 x > 0$

বা, $x > 0$

$∴ x < - \frac{2}{3}$ অথবা $x > 0$ শর্ত আরোপ করলে উক্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$∴$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

$= \frac{\frac{1}{3 x + 1}}{1 - \frac{1}{3 x + 1}} = \frac{\frac{1}{3 x + 1}}{\frac{3 x + 1 - 1}{3 x + 1}} = \frac{\frac{1}{3 x + 1}}{\frac{3 x}{3 x + 1}} = \frac{1}{3 x + 1} \times \frac{3 x + 1}{3 x} = \frac{1}{3 x}$

নির্ণেয় শর্ত : $x < - \frac{2}{3}$ অথবা $x > 0$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{3 x}$ .

উত্তর:

দেওয়া আছে, $A = {(1 + \frac{x}{5})}^{n}$

A এর বিস্তৃতিতে ৫ম পদ, $T_{4 + 1} =^{n} C_{4} \cdot 1^{n - 4} \cdot {(\frac{x}{5})}^{4} =^{n} C_{4} \frac{1}{5^{4}} \cdot x^{4}$

A এর বিস্তৃতিতে ৬ষ্ঠ পদ, $T_{5 + 1} =^{n} C_{5} 1^{n - 5} \cdot {(\frac{x}{5})}^{5} =^{n} C_{5} \frac{1}{5^{5}} \cdot x^{5}$

শর্তমতে, $^{n} C_{4} \cdot \frac{1}{5^{4}} = 5 \times^{n} C_{5} \cdot \frac{1}{5^{5}}$

বা, $\frac{n!}{4! (n - 4)!} \times \frac{1}{5^{4}} = \frac{n!}{5! (n - 5)} \times \frac{1}{5^{4}}$ বা, $\frac{n!}{4! (n - 4) (n - 5)!} = \frac{n!}{5 \times 4! (n - 5)!}$

বা, $\frac{1}{n - 4} = \frac{1}{5}$ বা, $n - 4 = 5$ বা, $n = 5 + 4$

$∴ n = 9$

নির্ণেয় মান : $n = 9$

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(i) (3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+………(ii) A=(1+x5)n…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(i) (3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+………(ii) A=(1+x5)n…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর