সৃজনশীলঃ ‘(i) 3x−5y+z=2,x+y+4z=1,7x−2y+z+3=0.(ii) x2+y2−4x=0.m…’ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণসমূহ :

$\begin{array}{cc}& 3x-5y+z=2\\ & x+y+4z=1\\ & 7x-2y+z+3=0\\ \therefore & 7x-2y+z=-3\end{array}$

সমীকরণ জোট হতে $x$, $y$ ও $z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক।

$D=\left|\begin{array}{ccc}3& -5& 1\\ 1& 1& 4\\ 7& -2& 1\end{array}\right|$

$=3(1+8)+5(1-28)+1(-2-7)=27-135-9=-117$

$D_x=\left|\begin{array}{ccc}2& -5& 1\\ 1& 1& 4\\ -3& -2& 1\end{array}\right|$

$=2(1+8)+5(1+12)+1(-2+3)=18+65+1=84$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 1& 4\\ 7& -3& 1\end{array}\right|$

$=3(1+12)-2(1-28)+1(-3-7)=39+54-10=83$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}3& -5& 2\\ 1& 1& 1\\ 7& -2& -3\end{array}\right|$

$=3(-3+2)+5(-3-7)+2(-2-7)=-3-50-18=-71$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{84}{-117}=-\frac{28}{39},y=\frac{D_y}{D}=\frac{83}{-117}=-\frac{83}{117}$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-71}{-117}=\frac{71}{117}$

নির্ণেয় সমাধান $(x,y,z)=(-\frac{28}{39},-\frac{83}{117},\frac{71}{17})$.

প্রদত্ত বৃত্ত : $x^2+y^2-4x=0$

কেন্দ্র $(2,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{(-2{)}^2+0^2-0}=2$

ধরি, স্পর্শকের ঢাল m

$\therefore (5,4)$ বিন্দুগামী স্পর্শকের সমীকরণ,

$\begin{array}{cc}& y-4=m(x-5)\dots .\left(1\right)\\ & y-4=mx-5m.....\left(2\right)\\ & \therefore mx-y-5m+4=0\end{array}$

শর্তমতে, $\frac{|m.2-0-5m+4|}{\sqrt{m^2+1^2}}=2$

বা, $\left|\right(4-3m)|=2\sqrt{m^2+1}$

বা, $(4-3m{)}^2=4(m^2+1)$

বা, $16-24m+9m^2=4m^2+4$

বা, $5m^2-24m+12=0$

$\therefore m=\frac{-(-24)\pm \sqrt{(-24{)}^2-4\cdot 5\cdot 12}}{2.5}=\frac{12\pm 2\sqrt{21}}{5}$

m এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$y-4=\frac{12\pm 2\sqrt{21}}{5}(x-5)$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $y-4=\frac{12\pm 2\sqrt{21}}{5}(x-5)$.