সৃজনশীলঃ ‘(i) 44π সে.মি.…’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – ঘন জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাস, $\frac{44}{\pi }$ সেমি

অতএব, গোলকের ব্যাসার্ধ, r = $\frac{22}{\pi }$ সেমি = 7.0028 সেমি (প্রায়)

যেহেতু, গোলকটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায় সেহেতু, ঘনকের বাহু হবে গোলকের ব্যাসের সমান।

∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য, $2r=2\times \frac{22}{\pi }$ সেমি $=14.0056$ সেমি (প্রায়)

$\therefore$ ঘনকের আয়তন =  ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য)${}^3$ ঘনএকক

$=(14.0056{)}^3$ ঘন সেমি

= 2747.3 ঘন সেমি (প্রায়)

এবং গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^3$ ঘনএকক

$=\frac{4}{3}\pi \times (7.0028{)}^3$ ঘন সেমি

$=1438.48$ ঘন সেমি (প্রায়)

$\therefore$ অনধিকৃত অংশের আয়তন = ঘনকের আয়তন $-$ গোলকের আয়তন

$=(2747.3-1438.48)$ ঘন সেমি

$=1308.82$ ঘন সেমি (প্রায়) (Ans.)

ধরি, ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

মনে করি, $\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\underset{―}{a},\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\underset{―}{b}$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\underset{―}{c},\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\underset{―}{d}$.

প্রমাণ করতে হবে যে, $|\underset{―}{a}|=|\underset{―}{c}|,|\underset{―}{b}|=|\underset{―}{d}|$. অর্থাৎ, $\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{BO}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{BO}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

বা, $\underset{―}{a}+\underset{―}{d}=\underset{―}{b}+\underset{―}{c}$

বা, $\underset{―}{a}-\underset{―}{c}=\underset{―}{b}-\underset{―}{d}$ [উভয়পক্ষে - c - d যোগ করে]

এখানে, $\underset{―}{a}$ ও $\underset{―}{c}$ এর ধারক $\mathrm{AC}\therefore \underset{―}{a}-\underset{―}{c}$ এর ধারক AC ।

আবার, $\underset{―}{b}$ ও $\underset{―}{d}$ এর ধারক $\mathrm{BD}\therefore \underset{―}{b}$ - $\underset{―}{d}$ এর ধারক BD ।

$\underset{―}{a}-\underset{―}{c}$ ও $\underset{―}{b}-\underset{―}{d}$ দুইটি সমান অশূন্য ভেক্টর হলে তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে।

কিন্তু AC, BD দুইটি পরস্পচ্ছেদী অসমান্তরাল সরলরেখা ।

সুতরাং $\underset{―}{a}$ - $\underset{―}{c}$ ও $\underset{―}{b}$ - $\underset{―}{d}$ ভেক্টরদ্বয় অশূন্য হতে পারে না বিধায় এদের মান শূন্য হবে।

$\therefore \underset{―}{a}-\underset{―}{c}=\underset{―}{0}$ বা, $\underset{―}{a}=\underset{―}{c}$ এবং $\underset{―}{b}-\underset{―}{d}=\underset{―}{0}$ বা, $\underset{―}{b}=\underset{―}{d}\therefore |\underset{―}{a}|=|\underset{―}{c}|,|\underset{―}{b}|=|\underset{―}{d}|$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

অর্থাৎ, AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)