সৃজনশীলঃ ‘(i) 4cm ব্যাসার্ধের…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪ – ঘন জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

নিরেট গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^3$

$=\frac{4}{3}\times 3.1416\times 4^3$ ঘন সেমি

$=268.08$ ঘন সেমি (প্রায়)

যেহেতু নিরেট গোলককে গলিয়ে ফাঁপা গোলক তৈরি করা হয়েছে,

∴ ফাঁপা গোলকের লোহার আয়তন $=268.08$ ঘন সেমি (প্রায়)

ধরি, ফাঁপা গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ $=r_1$ সেমি

দেওয়া আছে, ফাঁপা গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ $r_2=6$ সেমি

শর্তমতে, $\frac{4}{3}\times \pi \times r_2{}^3-\frac{4}{3}\times \pi r_1{}^3=268.08$

বা, $\frac{4}{3}\pi (r_2{}^3-r_1{}^3)=268.08$

বা, $6^3-r_1{}^3=64[\because r_2=6$ সেমি $]$

বা, $216-r_1{}^3=64$

বা, $r_1^3=216-64$

বা, $r_1^3=152$

$\therefore r_1=5.337$

$\therefore$ ফাঁপা গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ = $5.337$ সেমি (প্রায়)

$\therefore$ ফাঁপা গোলকটির পুরুত্ব

= (গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ - গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ)

= (6-5.337) সেমি

= 0.663 সেমি (প্রায়) (Ans.)

ABCD ট্রাপিজিয়ামের AC এবং BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q । P, Q যোগ করি ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $PQ\Vert AB\Vert DC$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC})$

প্রমাণ : মনে করি, কোনো ভেক্টর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C, D এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{a},\underset{―}{b},\underset{―}{c},\underset{―}{d}$

এবং$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underset{―}{b}-\underset{―}{a}\text{ এবং }\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\underset{―}{c}-\underset{―}{d}$

$\therefore P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{c})[\because P,\mathrm{AC}$ এর মধ্যবিন্দু]

এবং Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})[\because Q,\mathrm{BD}$ এর মধ্যবিন্দু]

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})-\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{c})$

$=\frac{1}{2}(b+d-a-c)$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(\underset{―}{b}-\underset{―}{a})-(\underset{―}{c}-\underset{―}{d}\left)\right\}$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}})$

$\mathrm{DC}\Vert \mathrm{AB}$ হওয়ায় ( $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ) ভেক্টরটিও $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ভেক্টরের সমান্তরাল হবে।তাহলে $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ভেক্টরটিও $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল হবে।

কারণ, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}})$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}|$

$\therefore \mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC})$

$\therefore \mathrm{PQ}\Vert \mathrm{AB}\Vert \mathrm{DC}$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC})$ (প্রমাণিত)