সৃজনশীলঃ ‘(i) 5x−2y−11=0(ii) 4x−10y+13=0(iii)…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $5x-2y-11=0$ .......... (i)

$4x-10y+13=0$ .......... (ii)

এখানে, $a_1,a_2+b_1,b_2=5.4+(-2)(-10)=20+20=40>0$

$\therefore$ (i) ও (ii)নং রেখার মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,

$\frac{5x-2y-11}{\sqrt{5^2+2^2}}=-\frac{4x-10y+13}{\sqrt{4^2+{10}^2}}$

বা, $\frac{5x-2y-11}{\sqrt{29}}=\frac{-4x+10y-13}{2\sqrt{29}}$

বা, $10x-4y-22=-4x+10y-13$

বা, $14x-14y=9$ বা, $\frac{14x}{9}-\frac{14y}{9}=1$

বা, $\frac{x}{\frac{9}{14}}+\frac{y}{-\frac{9}{14}}=1$

$\therefore$ অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশের যোগফল $=\frac{9}{14}+\left|\frac{-9}{14}\right|=\frac{9}{14}+\frac{9}{14}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}$

নির্ণেয় অক্ষদ্বয়ের কর্তিত অংশের যোগফল $\frac{9}{7}$ একক।

দেওয়া আছে, $5x-2y-11=0$ ....... (1)

$4x-10y+13=0$ ....... (2)

এবং $x^2+y^2-1=0$ ....... (3)

(1) নং হতে পাই, $5x-2y-11=0$

বা, $2y=5x-11$

$\therefore y=\frac{5x-11}{2}$ ........ (4)

(3) নং সমীকরণে $y=\frac{5x-11}{2}$ বসিয়ে পাই, $x^2+{\left(\frac{5x-11}{2}\right)}^2-1=0$

বা, $x^2+\frac{(5x-11{)}^2}{4}=1$

বা, $4x^2+(5x-11{)}^2=4$

বা, $4x^2+25x^2-110x+121=4$

বা, $29x^2-110x+117=0$

$\therefore x=\frac{-(-110)\pm \sqrt{(-110{)}^2-4.29\cdot 117}}{2.29}$

$=\frac{110\pm \sqrt{-1472}}{58}$

$=\frac{110\pm \sqrt{23\times 64i^2}}{58}$

$=\frac{110\pm 8i\sqrt{23}}{58}$

$=\frac{55}{29}\pm i\frac{4\sqrt{23}}{29}$

$x$ এর মান (4) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

$y=\frac{.5(\frac{55}{29}\pm i\frac{4\sqrt{23}}{29})-11}{2}$

বা, $y=\frac{\frac{275}{29}\pm i\frac{20\sqrt{23}}{29}-\frac{319}{29}}{2}$

$=\frac{\frac{275-319}{29}\pm i\frac{20\sqrt{23}}{29}}{2}$

$=\frac{\frac{-44}{29}\pm i\frac{20\sqrt{23}}{29}}{2}$

$\therefore y=\frac{-22}{29}\pm i\frac{10\sqrt{23}}{29}$

$\therefore (x,y)=(\frac{55}{29}+i\frac{4\sqrt{23}}{29},\frac{-22}{29}+i\frac{10\sqrt{23}}{29})$

এবং $(\frac{55}{29}-i\frac{4\sqrt{23}}{29},\frac{-22}{29}-i\frac{10\sqrt{23}}{29})$

অর্থাৎ, (1) নং রেখাটি (3) নং বৃত্তকে বাস্তবে ছেদ করে না। তাই বাস্তবে বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া সম্ভব নয়।

অতএব, বৃত্তের সমীকরণ নেই।

লক্ষ কর : ধরি, $x^2+y^2-1=0$ বৃত্ত ও $5x-2y-11=0$ রেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2-1+k(5x-2y-11)=0$ ........... (1)

বা, $x^2+y^2+5kx-2ky-1-11k=0$

বৃত্তটির কেন্দ্র $(\frac{-5k}{2},k)$

বৃত্তটির কেন্দ্র $(\frac{-5k}{2},k),4x-10y+13=0$ রেখার উপর অবস্থিত।

4. $\frac{-5k}{2}-10k+13=0$

বা, $-10k-10k=-13$

$\therefore k=\frac{13}{20}$

(1)নং সমীকরণে k এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2-1+\frac{13}{20}(5x-2y-11)=0$

বা, $20x^2+20y^2-20+65x-26y-143=0$

$\therefore 20x^2+20y^2+65x-26y-163=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $20x^2+20y^2+65x-26y-163=0$.