সৃজনশীলঃ ‘(i) A=(2+x3)n.(ii) 1x+2+1(x+2)2+1(x+2)3+.…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$A={(2+\frac{x}{3})}^n$ বিস্তৃতির, $r+1$ তম পদ $={}^n{C}_r{2}^{n-r}\cdot {\left(\frac{x}{3}\right)}^r$

$\therefore (4+1)$ তম পদ $={}^n{C}_4{2}^{n-4}\cdot {\left(\frac{x}{3}\right)}^4$

$(5+1)$ তম পদ $={}^n{C}_5{2}^{n-5}\cdot {\left(\frac{x}{3}\right)}^5$

প্রশ্নমতে, ${}^n{C}_4{2}^{n-4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^4=5\times {}^n{C}_5{2}^{n-5}{\left(\frac{1}{3}\right)}^5$

বা, $\frac{n!}{4!(n-4)!}\times 2^{n-4-n+5}\times 3^{-4+5}=5\times \frac{n!}{5!(n-5)!}$

বা, $\frac{2\times 3}{4!(n-4)(n-5)!}=5\times \frac{1}{5\times 4!(n-5)!}$

বা, $\frac{6}{n-4}=1$

বা, $n-4=6$

$\therefore n=10$ (Ans.)

প্রদত্ত ধারা $:\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+2{)}^2}+\frac{1}{(x+2{)}^3}+$ . . . . . . . . .

ধারাটি অসীম গুণোত্তর ধারা নির্দেশ করে যার ১ম পদ, $a=\frac{1}{x+2}$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{(x+2{)}^2}}{\frac{1}{x+2}}=\frac{1}{(x+2{)}^2}\times \frac{x+2}{1}=\frac{1}{x+2}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r| < 1 হয়

বা, $-1<\frac{1}{x+2}<1$
এখন, $-1<\frac{1}{x+2}$
বা, $\frac{1}{-1}>x+2$
বা, $x+2<-1$
বা, $x+2-2<-1-2$
$\therefore x<-3$

আবার, $\frac{1}{x+2}<1$
বা, $x+2>1$
বা, $x+2-2>1-2$

$\therefore x>-1$

∴ শর্ত : $x<-3$ অথবা $x>-1$

অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{1}{x+2}}$

$=\frac{\frac{1}{x+2}}{\frac{x+2-1}{x+2}}=\frac{\frac{1}{x+2}}{\frac{x+1}{x+2}}=\frac{1}{x+2}\times \frac{x+2}{x+1}=\frac{1}{x+1}$

নির্ণেয় শর্ত : $x<-3$ অথবা $x>-1$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{x+1}$.