সৃজনশীলঃ ‘(i) A(6, 7),…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $ABCD$ চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে A(6, 7) B(- 2, 3) , C(0,- 1) এবং D(8, 3)

$xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো :

$\mathrm{AB}$বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+2{)}^2+(7-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{8^2+4^2}$ একক $=\sqrt{64+16}$ একক

$=\sqrt{80}$ একক $=4\sqrt{5}$ একক

$\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(0-8{)}^2+(-1-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{8^2+4^2}$ একক $=\sqrt{64+16}$ একক 

$=\sqrt{80}$ একক $=4\sqrt{5}$ একক

$\therefore \mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য

আবার, AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-8{)}^2+(7-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}$ একক

$=\sqrt{4+16}$ একক $=\sqrt{20}$ একক $=2\sqrt{5}$ একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-2-0{)}^2+(3+1{)}^2}$ একক $=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}$ একক $=\sqrt{4+16}$ একক

$=\sqrt{20}$ একক $=2\sqrt{5}$ একক

$\therefore \mathrm{AD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য যেহেতু ABCD চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলো সমান সেহেতু চতুর্ভুজটি সামান্তরিক অথবা আয়তক্ষেত্র ।

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-2-8{)}^2+(3-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-10{)}^2+0}$ একক $=\sqrt{100}$ একক $=10$ একক

$\mathrm{AC}$ কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-0{)}^2+(7+1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{36+64}$ একক $=\sqrt{100}$একক$=10$ একক

$\therefore$ কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য $=$ কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য।

এখন, ${\mathrm{BD}}^2={10}^2=100,{\mathrm{AB}}^2=(4\sqrt{5}{)}^2=80$

এবং ${\mathrm{AD}}^2=(2\sqrt{5}{)}^2=20$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AD}}^2=80+20=100={\mathrm{BD}}^2$

অতএব, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $△\mathrm{BAD}$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle \mathrm{BAD}=$ এক সমকোণ। 

যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান, দুটি কর্ণ সমান এবং একটি কোণ সমকোণ। 

সুতরাং ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয় $3x-y+4=0..........\left(1\right)$

$4x+y-11=0......\left(2\right)$

(1) ও (2) নং সমীকরণ হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই,

$\frac{x}{(-1)\times (-11)-1\times 4}=\frac{y}{4\times 4-3\times (-11)}=\frac{1}{3\times 1-4\times (-1)}$

বা, $\frac{x}{11-4}=\frac{y}{16+33}=\frac{1}{3+4}$

বা, $\frac{x}{7}=\frac{y}{49}=\frac{1}{7}$

এখন, $\frac{x}{7}=\frac{1}{7}$

বা, $x=\frac{7}{7}$

$\therefore x=1$

এবং $\frac{y}{49}=\frac{1}{7}$

বা, $y=\frac{49}{7}$

$\therefore y=7$

অতএব, ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক C(1, 7)

ধরি, (1) নং সমীকরণ $x$ অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু $x-$অক্ষের উপর $y=0$

অতএব, সমীকরণ (1) নং পাই, $3x-0+4=0$

বা, $3x=-4$

$\therefore x=-\frac{4}{3}$

$\therefore$ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{4}{3},0)$

আবার, ধরি, (2)নং সমীকরণ $x$ অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে।

যেহেতু $x-$ অক্ষের উপর $y=0$

অতএব, (2) নং সমীকরণ পাই, $4x+0-11=0$

বা, $4x=11$

$\therefore x=\frac{11}{4}$

$\therefore B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{11}{4},0)$

এখন সরলরেখাদ্বয় হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো $xy$ সমতলে স্থাপন করি।

চিত্রে ABC ত্রিভুজের $A(-\frac{4}{3},0),B(\frac{11}{4},0)$ এবং $C(1,7)$ বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে।

অতএব; ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}-\frac{4}{3}& \frac{11}{4}& 1& -\frac{4}{3}\\ 0& 0& 7& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{0+\frac{77}{4}+0-(0+0-\frac{28}{3})\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{77}{4}+\frac{28}{3})$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times \left(\frac{231+112}{12}\right)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{343}{12}$ বর্গ একক $=\frac{343}{24}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{343}{24}$ বর্গ একক।