সৃজনশীলঃ ‘(i) A=cos−1⁡313−12sin−1⁡35+cosec−110.(ii) cos⁡x+3sin⁡x=B.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\mathrm{cosec}}^{-1}\sqrt{10}$

বামপক্ষ = A

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\mathrm{cosec}}^{-1}\sqrt{10}$

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\times 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot {\sin }^{-1}\frac{2\times \frac{1}{3}}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}$

$[\because 2\cdot {\tan }^{-1}x={\sin }^{-1}\frac{2x}{1+x^2}]$

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot {\sin }^{-1}\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}}$

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot {\sin }^{-1}\frac{2}{3}\times \frac{9}{10}$

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot {\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\cos }^{-1}\frac{3}{\sqrt{13}}$

$={\tan }^{-1}\frac{2}{3}=$ ডানপক্ষ

$\therefore A={\tan }^{-1}\frac{2}{3}$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\cos x+\sqrt{3}\sin x=B$

এখন, $B=\sqrt{2}$ হলে, $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ - দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos \frac{\pi }{3}\cdot \cos x+\sin \frac{\pi }{3}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos (x-\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{4}$

বা, $x-\frac{\pi }{3}=2n\pi \pm \frac{\pi }{4};$ যেখানে $n\in Z$

বা, $x=2n\pi \pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$

বা, $x=2n\pi +\frac{7\pi }{12},2n\pi +\frac{\pi }{12};$ যেখানে $n\in Z$

$\therefore x=(24n+7)\frac{\pi }{12};(24n+1)\frac{\pi }{12};$ যেখানে $n\in Z$

$n=0$ হলে, $x=\frac{7\pi }{12},\frac{\pi }{12}$

$n=1$ হলে, $x=\frac{31\pi }{12},\frac{25\pi }{12}$

$n=-1$ হলে, $x=\frac{-17\pi }{12},\frac{-23\pi }{12}$

$-\pi <x<\pi$ ব্যবধিতে $x=\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}$

নির্ণেয় সমাধান : $x=\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}$