সৃজনশীলঃ ‘(i) A=p4(q−r)+q4(r−p)+r4(p−q)(ii) B=x3+x2−5x+3…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A=P^4(q-r)+q^4(r-p)+r^4(p-q)$

$\begin{array}{cc}& =p^4(q-r)+q^{4}r-p{q}^4+p{r}^4-q{r}^4\\ & =p^4(q-r)+qr(q^3-r^3)-p(q^4-r^4)\\ & =(q-r)\{p^4+qr(q^2+qr+r^2)-p(q+r\left)(q^2+r^2)\right\}\\ & =(q-r)\{p^4+qr(q^2+qr+r^2)-p(q^3+q{r}^2+q^{2}r+r^3)\}\\ & =(q-r)\{p^4+q^{3}r+q^2{r}^2+q{r}^3-p{q}^3-pq{r}^2-p{q}^{2}r-p{r}^3\}\\ & =(q-r)\{p(p^3-q^3)-r^3(p-q)-q^{2}r(p-q)-q{r}^2(p-q\left)\right\}\\ & =(q-r)(p-q)\{p(p^2+pq+q^2)-r^3-q^{2}r-q{r}^2\}\\ & =(q-r)(p-q)(p^3+p^{2}q+p{q}^2-r^3-q^{2}r-q{r}^2)\\ & =(q-r)(p-q)\{-q^2(r-p)-q(r^2-p^2)-(r^3-p^3)\}\\ & =(q-r)(p-q)(r-p)\{-q^2-q(r+p)-(r^2+rp+p^2)\}\\ & =(q-r)(p^{\prime }-q)(r-p)\{-q^2-qr-pq-r^2-p-p^2\}\\ & =-(p-q)(q-r)(r-p)(p^2+q^2+r^2+pq+qr+p)\end{array}$ 

নির্ণেয় উৎপাদক $-(p-q)(q-r)(r-p)(p^2+q^2+r^2+pq+qr+rp)$. 

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}B& =x^3+x^2-5x+3=x^3-x^2+2x^2-2x-3x+3\\ & =x^2(x-1)+2x(x-1)-3(x-1)\\ & =(x-1)(x^2+2x-3)=(x-1)(x^2+3x-x-3)\\ & =(x-1)\left\{x\right(x+3)-1(x+3\left)\right\}\\ & =(x-1)(x+3)(x-1)=(x+3)(x-1{)}^2\\ \therefore \frac{x}{B}& =\frac{x}{x^3+x^2-5x+3}=\frac{x}{(x+3)(x-1{)}^2}\end{array}$ 

মনে করি, $\frac{x}{(x+3)(x-1{)}^2}\equiv \frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1{)}^2}$$.....\left(1\right)$ 
উভয়পক্ষকে $(x+3)(x-1{)}^2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x\equiv A(x-1{)}^2+B(x+3\left)\right(x-1)+C(x+3)$$.....\left(2\right)$

(2) নং এর উভয়পক্ষে $x=-3$ বসিয়ে পাই,

$-3=A(-3-1{)}^2+B((-3+3)(-3-1)+C(-3+3)$

বা, $-3=16A+B\times 0+C\times 0$
বা, $16A=-3$

$\therefore A=-\frac{3}{16}$

আবার, (2) নং এর উভয়পক্ষে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1=A(1-1{)}^2+B(1+3\left)\right(1-1)+C(1+3)$

বা, $1=A\times 0+B\times 0+C\times 4$
বা, $4C=1$

$\therefore C=\frac{1}{4}$ 

এখন, (2) নং হতে পাই, 

$x=A(x^2-2x+1)+B(x^2+3x-x-3)+Cx+3C$ 

বা, $x=A{x}^2-2Ax+A+B(x^2+2x-3)+Cx+3C$
বা, $x=A{x}^2-2Ax+A+B{x}^2+2Bx-3B+Cx+3C$ 

$\therefore x=x^2(A+B)+x(-2A+2B+C)+A-3B+3C$ 

$x^2,x$ ও ধ্রুব পদের সহণগুলো সমীকৃত করে পাই, 

$-2A+2B+C=1$ 

বা, $-2\times (-\frac{3}{16})+2B+\frac{1}{4}=1[\because A=-\frac{3}{16}$ ও $C=\frac{1}{4}]$
বা, $\frac{3}{8}+2B+\frac{1}{4}=1$
বা, $2B=1-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}=\frac{8-2-3}{8}=\frac{3}{8}$

$\therefore B=\frac{3}{16}$ 

এখন, (i) নং এ A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{cc}\frac{x}{(x+3)(x-1{)}^2}& \equiv \frac{\frac{-3}{16}}{x+3}+\frac{3}{16}\\ & =-\frac{3}{16-1}+\frac{3}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}[\frac{3}{16(x-1)}+\frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{(x-1{)}^2}-\frac{3}{4(x+3)}]\end{array}$ 

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ।