সৃজনশীলঃ ‘(i) ax2+2cx+2b=0(ii) ax2+2bx+2c=0…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ, ${\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{cx}+2b=0$ ....... (i)

এবং $a{x}^2+2bx+2c=0$ ........... (ii)

মনে করি, (i) ও (ii)নং সমীকরণের সাধারণ মূলটি $\alpha$ যা উডয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

$\therefore a{\alpha }^2+2c\alpha +2b=0$ ........ (iii)

$a{\alpha }^2+2b\alpha +2c=0$ ........ (iv)

(iii) নং ও (iv) নং হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে,

$\frac{{\alpha }^2}{4c^2-4b^2}=\frac{\alpha }{2ab-2ac}=\frac{1}{2ab-2ac}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{2(c^2-b^2)}=\frac{\alpha }{a(b-c)}=\frac{1}{a(b-c)}$

$\therefore \frac{a}{a(b-c)}=\frac{1}{a(b-c)}$

$\therefore \alpha =1$

আবার, $\frac{{\alpha }^2}{2(c^2-b^2)}=\frac{\alpha }{a(b-c)}$

বা, $\frac{a}{2(c+b)(c-b)}=\frac{1}{-a(c-b)}$

বা, $\frac{1}{2c+2b}=-\frac{1}{a}[\because \alpha =1]$

বা, $2b+2c=-a$

$\therefore a+2b+2c=0$. (দেখানো হলো)

প্রদত্ত সমীকরণ, ${\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{cx}+2b=0$ ........ (i)

$a{x}^2+2bx+2c=0$ .......... (ii)

মনে করি, (i)নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

(ii)নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\gamma$ ও $\delta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{2c}{a},\alpha \beta =\frac{2b}{a}$

এবং $\gamma +\delta =-\frac{2b}{a},\gamma \delta =\frac{2c}{a}$

প্রশ্নমতে,

$|\alpha -\beta |=|\gamma -\delta |$

বা, $(\alpha -\beta {)}^2=(\gamma -\delta {)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =(\gamma +\delta {)}^2-4\gamma \delta$

বা, ${(-\frac{2c}{a})}^2-4\cdot \frac{2b}{a}={(-\frac{2b}{a})}^2-4\cdot \frac{2c}{a}$

বা, $\frac{4c^2}{a^2}-\frac{8b}{a}=\frac{4b^2}{a^2}-\frac{8c}{a}$

বা, $\frac{c^2}{a^2}-\frac{2b}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}$

বা, $c^2-2ab=b^2-2ca[a^2$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $b^2-c^2+2ab-2ca=0$

বা, $(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0$

বা, $(b-c)(b+c+2a)=0$

হয়, $b-c=0$

$\therefore b=c$

অথবা, $b+c+2a=0$

অতএব, $b=c$ অথবা, $b+c+2a=0$. (দেখানো হলো)