সৃজনশীলঃ ‘(i) B=(r−y2)7(ii) 3(4−10x)−1+9(4−10x)−2+27(4−10x)−3+………’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $B={(r-\frac{y}{2})}^7$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

${(r-\frac{y}{2})}^7=r^7+{}^7{C}_1{r}^{7-1}{(-\frac{y}{2})}^1+{}^7{C}_2{r}^{7-2}{(-\frac{y}{2})}^2$

$+{}^7{C}_3{r}^{7-3}{(-\frac{y}{2})}^3+{}^7{C}_4{r}^{7-4}{(-\frac{y}{2})}^4+\dots \dots$

$=r^7-\frac{7r^{6}y}{2}+\frac{21r^5{y}^2}{4}-\frac{35r^4{y}^3}{8}+\frac{35r^3{y}^4}{16}-\dots \dots$

প্রশ্নমতে, $\frac{35y^4}{16}=315$

বা, $\frac{y^4}{16}=9$

বা, $y^4=144$

বা, ${\left(y^2\right)}^2={12}^2$

বা, $y^2=12$

$\therefore y=\pm \sqrt{12}=\pm \sqrt{4\times 3}=\pm 2\sqrt{3}\text{ (Ans.) }$

প্রদত্ত ধারাটি,

$3(4-10x{)}^{-1}+9(4-10x{)}^{-2}+27(4-10x{)}^{-3}+\dots \dots$

$=\frac{3}{4-10x}+\frac{9}{(4-10x{)}^2}+\frac{27}{(4-10x{)}^3}+\dots \dots$

ধারাটির প্রথম পদ, $a=\frac{3}{4-10x}$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{9}{(4-10x{)}^2}÷\frac{3}{4-10x}$

$=\frac{9}{(4-10x{)}^2}\times \frac{(4-10x)}{3}$

$=\frac{3}{4-10x}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $|r|<1$ হয়,

অর্থাৎ, $\left|\frac{3}{4-10x}\right|<1$ বা, $-1<\frac{3}{4-10x}<1$ হয় ।

এখন, $\frac{3}{4-10x}>-1$

বা, $\frac{4-10x}{3}<-1$

বা, $4-10x<-3$

বা, $-10x<-7$

বা, 10x > 7

$\therefore x>\frac{7}{10}$

অথবা, $\frac{3}{4-10x}<1$

বা, $\frac{4-10x}{3}>1$

বা, $4-10x>3$

বা, $-10x>-1$

বা, $10x<1$

$\therefore x<\frac{1}{10}$

∴ নির্ণেয় শর্ত : $x>\frac{7}{10}$ অথবা, $x<\frac{1}{10}$

অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{\frac{3}{4-10x}}{1-\frac{3}{4-10x}}$

$=\frac{\frac{3}{4-10x}}{\frac{4-10x-3}{4-10x}}$

$=\frac{3}{4-10x}\times \frac{4-10x}{1-10x}$

$=\frac{3}{1-10x}\text{ (Ans.) }$