সৃজনশীলঃ ‘(i)চিত্রে, AC =…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – পরিমিতি, গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের $\angle ACB={150}^{\circ }$, $\mathrm{AC}=20$ কি.মি. এবং $\mathrm{BC}=22$ কি.মি.।
A বিন্দু থেকে BC এর বর্ধিতাংশের উপর AD লম্ব আঁকি।

এখানে, $\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ACD}={180}^{\circ }$
বা, $\angle \mathrm{ACD}={180}^{\circ }-\angle \mathrm{ACB}={180}^{\circ }-{150}^{\circ }={30}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{ACD}={30}^{\circ }$

ACD সমকোণী ত্রিভুজে,

$\cos \angle \mathrm{ACD}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$

বা, $\cos {30}^{\circ }=\frac{\mathrm{CD}}{20}$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CD}{20}$
বা, $CD=\frac{20\times \sqrt{3}}{2}$

$\therefore \mathrm{CD}=10\sqrt{3}$

আবার, ACD সমকোণী ত্রিভুজে,

${\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{CD}}^2={\mathrm{AC}}^2$

বা, $A{D}^2=A{C}^2-C{D}^2=(20{)}^2-(10\sqrt{3}{)}^2=400-300$
বা, ${\mathrm{AD}}^2=100$
বা, $\mathrm{AD}=\sqrt{100}$

$\therefore \mathrm{AD}=10$

এখন, ABD সমকোণী ত্রিভুজে,

${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2$
$={\mathrm{AD}}^2+(\mathrm{BC}+\mathrm{CD}{)}^2[\because \mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}]$
$=(10{)}^2+(22+10\sqrt{3}{)}^2$
$=100+1546.102$
$=1646.102$
$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{1646.102}=40.572$ (প্রায়)
$\therefore \mathrm{AB}$ এর দৈর্ঘ্য $40.572$ কি.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস $=24$ সে.মি.
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{24}{2}=12$ সে.মি.
$\therefore$ বৃত্তটির পরিধি $=2\pi r$

$=2\times \pi \times 12$ সে.মি.
$=24\pi$ সে.মি. 

এবং বৃত্তটির ক্ষেত্রফল $=\pi r^2=\pi \times (12{)}^2$ বর্গ সে.মি.

$=144\pi$ বর্গ সে.মি.

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$ সে.মি.
$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা $=3x$ সে.মি.
শর্তমতে, বৃত্তের পরিধি = সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা
বা, $24\pi =3x$
বা, $x=\frac{24\pi }{3}$

$\therefore x=8\pi$

$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}(8\pi {)}^2$ বর্গ সে.মি.
$=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 64{\pi }^2$ বর্গ সে.মি.
$=16\sqrt{3}{\pi }^2$ বর্গ সে.মি. 

বৃত্তের ক্ষেত্রফল : সমবাহু তিভুজের ক্ষেত্রফল $=144\pi$ : $16\sqrt{3}{\pi }^2$

$=3\sqrt{3}:\pi$

নির্ণেয় অনুপাত $3\sqrt{3}:\pi$.