সৃজনশীলঃ ‘(i) একটি আয়তক্ষেত্রের…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – সমীকরণ, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $x$ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য $=(2x-10)$ মিটার

শর্তমতে, $(2x-10)x=1000$

বা, $2x^2-10x-1000=0$

বা, $x^2-5x-500=0$

বা, $x^2-25x+20x-500=0$

বা, $x(x-25)+20(x-25)=0$

$\therefore x=25[\because x\ne -20$, কারণ প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না]

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ $=25$ মিটার

এবং দৈর্ঘ্য $=(2\times 25-10)$ মিটার

$=(50-10)$ মিটার

$=40$মিটার

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 ( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

$=2(40+25)$ মিটার

$=(2\times 65)$ মিটার

$=130$ মিটার (Ans.)

দেওয়া আছে, $P=a^2-9a-6$

এবং $Q=a^3+a^2-6a$

$\therefore \frac{P}{Q}=\frac{a^2-9a-6}{a^3+a^2-6a}=\frac{a^2-9a-6}{a(a^2+a-6)}$

$=\frac{a^2-9a-6}{a(a^2+3a-2a-6)}$

$=\frac{a^2-9a-6}{a\left\{a\right(a+3)-2(a+3\left)\right\}}$

$=\frac{a^2-9a-6}{a(a+3)(a-2)}$

ধরি, $\frac{a^2-9a-6}{a(a+3)(a-2)}\equiv \frac{A}{a}+\frac{B}{a+3}+\frac{C}{a-2}$ ........ (i)

(i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $a(a+3)(a-2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$a^2-9a-6\equiv A(a+3)(a-2)+\mathrm{Ba}(a-2)+\mathrm{Ca}(a+3)$

বা, $a^2-9a-6\equiv A(a^2+a-6)+B(a^2-2a)+C(a^2+3a)$

বা, $a^2-9a-6\equiv (A+B+C)a^2+(A-2B+3C)a-6A\dots \dots \left(ii\right)$

(ii) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B+C=1\dots \dots \left(iii\right)$

$A-2B+3C=-9$ ....... (iv)

এবং $-6A=-6\therefore A=1$

A এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, $1+B+C=1$

বা, $B+C=0$

$\therefore 2B+2C=0$

(iv) ও (v) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, $1+5C=-9$

বা, $5C=-10\therefore C=-2$

C এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই, $2B+2(-2)=0$

বা, $2B=4\therefore B=2$

A, B ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{a^2-9a-6}{a(a+3)(a-2)}\equiv \frac{1}{a}+\frac{2}{a+3}-\frac{2}{a-2}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (Ans.)