সৃজনশীলঃ ‘(i) একটি অধিবৃত্তের…’ সরকারি বজ্রমোহন কলেজ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি (0,4) ও (8,4)

এবং উৎকেন্দ্রিকতা $\sqrt{2}$

মনেকরি, অধিবৃক্তটির সমীকরণ : $\frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}-\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1$

যার উপকেন্দ্রদ্বয় $S_1(0,4)$, এবং $S_2(8,4)$

$\therefore$ অধিবৃত্তটির কেন্দ্র $C,S_1{S}_2$ রেখার মধ্যবিন্দু।

$\therefore$বিন্দুর স্থানাঙ্ক$(\frac{0+8}{2},\frac{4+4}{2})$বা, $(4,4)$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = $S_1{S}_2$

$\Rightarrow 2ac=\sqrt{(8-0{)}^2+(4-4{)}^2}$

$\Rightarrow 2ac=8$

$\Rightarrow ae=4$

$\Rightarrow a=\frac{4}{e}=\frac{4}{\sqrt{2}}$

$\therefore a=2\sqrt{2}$

আবার,

$e=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow 1+\frac{b^2}{a^2}=2$ [বর্গ করে]

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=2-1$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1$

$\Rightarrow b^2=a^2$

$\Rightarrow b=a$

$\therefore b=2\sqrt{2}$

$\therefore$ নির্ণেয় অধিবৃত্তটি সমীকরণ,

$\frac{(x-4{)}^2}{(2\sqrt{2}{)}^2}-\frac{(y-4{)}^2}{(2\sqrt{2}{)}^2}=1$

$\therefore$ অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,

$y-4=\pm \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}(x-4)$

$\Rightarrow y-y=\pm (x-4)$

(+) নিয়ে,

$\begin{array}{cc}& y-4=\pm (x-4)\\ \Rightarrow & x-y=0\end{array}$

(-) নিয়ে,

$y-4=-(x-4)$

$\Rightarrow y-4+x-4=0$

$\therefore x+y-8=0$

$\therefore$ অসীমতটের সমীকরণ : $x-y=0,x+y-8=0$

দেওয়া আছে,

উপবৃত্তের উপকেন্দ্র S(3,2)

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{8}}$

নিয়ামকরেখা, $Mz$ - এর সমীকরণ,$2x+y=3$

$\Rightarrow 2x+y-3=0$

ধরি, উপবৃত্তের উপর অবস্থিত যে কোন বিন্দু P(x,y)

উপবৃত্তের সংখ্যা হতে জানি,

$SP=e\cdot PM$

$\Rightarrow \sqrt{(x-3{)}^2+(y-2{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{8}}\frac{2x+y-3}{\sqrt{2^2+1^2}}$

$\Rightarrow (x-3{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{(2x+y-3{)}^2}{8.5}$

$\Rightarrow 40(x^2-6x+9+y^2-4y+4)=4x^2+y^2+9+4xy-12x-6y$

$\Rightarrow 40x^2-240x+360+40y^2-160y+160-4x^2-y^2-9-4xy+12x+6y=0$

$\Rightarrow 36y36x^2+39y^2-228x-154y-4xy+511=0$