সৃজনশীলঃ ‘(i) একটি সমবাহু…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৬ – পরিমিতি, গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, $a=8$ সে.মি.
$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 8^2$ বর্গ সে.মি. = $16\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ সে.মি. বাড়ানো হলো।
$\therefore$ নতুন সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}(x+8{)}^2$ বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
$\frac{\sqrt{3}}{4}(x+8{)}^2-16\sqrt{3}=20\sqrt{3}$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{4}\left\{\right(x+8{)}^2-64\}=20\sqrt{3}$
বা, $(x+8{)}^2-64=80$
বা, $x^2+16x+64-64=80$
বা, $x^2+16x-80=0$
বা, $x^2+20x-4x-80=0$
বা, $x(x+20)-4(x+20)=0$
বা, $(x+20)(x-4)=0$
$\therefore x+20=0$ অথবা, $x-4=0$
বা, $x=-20$; কিন্তু ইহা গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ বর্ধিত দৈর্ঘ্য কখনো ঋণাত্মক হয় না। বা, $x=4$
$\therefore x=4$ সে.মি.
অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল $20\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি. বেড়ে যায়।

মনে করি, অনুপাতের সাধারণ রাশি $x$
এখানে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, $a=5x$ সে.মি.
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, $b=3x$ সে.মি.
এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, $c=2x$ সে.মি.

আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ = $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ সে.মি.
বা, $2\sqrt{19}=\sqrt{(5x{)}^2+(3x{)}^2+(2x{)}^2}$
বা, $(2\sqrt{19}{)}^2=25x^2+9x^2+4x^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $76=38x^2$
বা, $\frac{76}{38}=x^2$
বা, $2=x^2$
$\therefore x=\sqrt{2}$

$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, $a=5\sqrt{2}$ সে.মি.
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, $b=3\sqrt{2}$ সে.মি.
এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, $c=2\sqrt{2}$ সে.মি.

$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= $2(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})$
= $2(5\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}+3\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\times 5\sqrt{2})$ বর্গ সে.মি.
= $2(30+12+20)$ বর্গ সে.মি.
= $2\times 62$ বর্গ সে.মি.
= 124 বর্গ সে.মি.

ঘনবস্তুটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 124 বর্গ সে.মি.।