সৃজনশীলঃ ‘(i) f(x)=14x−7+ax3+28×2−a(ii) A=P−3+Q−3+R−3…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=14x-7+{\mathrm{ax}}^3+28x^2-a$

$=a{x}^3+28x^2+14x-a-7$

এখন, $(2x-1)=2(x-\frac{1}{2}),f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হলে,

$f\left(\frac{1}{2}\right)=0$  হবে।

অর্থাৎ, $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$
বা, $a{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+28{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+14\left(\frac{1}{2}\right)-a-7=0$
বা, $a\times \frac{1}{8}+28\times \frac{1}{4}+7-a-7=0$
বা, $\frac{a}{8}+7-a=0$
বা, $\frac{a}{8}-a=-7$ বা,$\frac{a-8a}{8}=-7$ বা, $\frac{-7a}{8}=-7$ বা, $a=\frac{7\times 8}{7}$

$\therefore a=8$

নির্ণেয় মান : $a=8$. 

দেওয়া আছে, $A=P^{-3}+Q^{-3}+R^{-3}$
$A=\frac{3}{\mathrm{PQR}}$ হলে, $P^{-3}+Q^{-3}+R^{-3}=\frac{3}{\mathrm{PQR}}$
বা, $\frac{1}{P^3}+\frac{1}{Q^3}+\frac{1}{R^3}-\frac{3}{\mathrm{PQR}}=0$
বা, ${\left(\frac{1}{P}\right)}^3+{\left(\frac{1}{Q}\right)}^3+{\left(\frac{1}{R}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{P}\cdot \frac{1}{Q}\cdot \frac{1}{R}=0$
বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{P}+\frac{1}{Q}+\frac{1}{R})\{{(\frac{1}{P}-\frac{1}{Q})}^2+{(\frac{1}{Q}-\frac{1}{R})}^2+{(\frac{1}{R}-\frac{1}{P})}^2\}=0$
বা, $(\frac{1}{P}+\frac{1}{Q}+\frac{1}{R})\{{(\frac{1}{P}-\frac{1}{Q})}^2+{(\frac{1}{Q}-\frac{1}{R})}^2+{(\frac{1}{R}-\frac{1}{P})}^2\}=0$
হয়, $(\frac{1}{P}+\frac{1}{Q}+\frac{1}{R})=0$
বা, $\frac{1}{P}+\frac{1}{Q}+\frac{1}{R}=0$
বা, $\frac{\mathrm{QR}+\mathrm{RP}+\mathrm{PQ}}{\mathrm{PQR}}=0$ বা, $\mathrm{QR}+\mathrm{RP}+\mathrm{PQ}=0$
$\therefore \mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RP}=0$
অথবা, ${(\frac{1}{P}-\frac{1}{Q})}^2+{(\frac{1}{Q}-\frac{1}{R})}^2+{(\frac{1}{R}-\frac{1}{P})}^2=0$
কিন্তু, কতগুলো বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে তাদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে। 

$\therefore {(\frac{1}{P}-\frac{1}{Q})}^2=0$ 

বা, $\frac{1}{P}-\frac{1}{Q}=0$
বা, $\frac{1}{P}-\frac{1}{Q}$ 

$\begin{array}{cc}\therefore & P=Q\\ \therefore & P=Q=R\end{array}$ 

$\therefore {(\frac{1}{Q}-\frac{1}{R})}^2=0$ 

বা, $\frac{1}{Q}-\frac{1}{R}=0$
বা, $\frac{1}{Q}=\frac{1}{R}$ 

$\therefore Q=R$ 

${(\frac{1}{R}-\frac{1}{P})}^2=0$ 

বা, $\frac{1}{R}-\frac{1}{P}=0$
বা, $\frac{1}{R}=\frac{1}{P}$ 

$\therefore R=P$ 

$\therefore P=Q=R$ 

অর্থাৎ, $\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RP}=0$ এবং $P=Q=R$. (দেখানো হলো)