সৃজনশীলঃ ‘(i) F(x)=36×2−Kx−5 এবং…’ ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $Q\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$

$\therefore Q\left(1\right)=1^3-6\cdot 1^2+11\cdot 1-6=1-6+11-6=0$

$\therefore (x-1),Q\left(x\right)$ এক একটি উৎপাদক।
এখন, $x^3-6x^2+11x-6$ 

$\begin{array}{cc}& =x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\\ & =x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\\ & =(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x^2-3x-2x+6)\\ & =(x-1)\left\{x\right(x-3)-2(x-3\left)\right\}=(x-1)(x-2)(x-3)\\ \therefore & \frac{x^3}{Q\left(x\right)}=\frac{x^3}{x^3-6x^2+11x-6}=\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\end{array}$ 

মনে করি, $\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\equiv 1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$$.....\left(i\right)$

 উভয়পক্ষকে $(x-1)(x-2)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই, 

$x^3\equiv (x-1)(x-2)(x-3)+A(x-2)(x-3)$ 

$+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$$.....\left(ii\right)$ 

(ii) নং এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{c}{1}^3=(1-1)(1-2)(1-3)+A(1-2)(1-3)+B(1-1)(1-3)+C(1-1)(1-2)\end{array}$ 

বা, $1=0+A(-1)(-2)+B\times 0+C\times 0$
বা, $1=2A$ 

$\therefore A=\frac{1}{2}$ 

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $x=2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}{2}^3=(2-1)(2-2)& (2-3)+A(2-2)(2-3)+B(2-1)(2-3)+C(2-1)(2-2)\end{array}$

বা, $8=0+A\times 0+B\times 1(-1)+C\times 0$
বা, $8=-B$
বা, $B=-8$ 

আবার, (ii) নং এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই, 

$3^3=(3-1)(3-2)(3-3)+A(3-2)(3-3)$ 

$+B(3-1)(3-3)+C(3-1)(3-2)$ b

বা, $27=0+A\times 0+B\times 0+c\times 2\times 1$
বা, 27-2C

$\therefore C=\frac{27}{2}$

এখন, (i) নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{cc}& \frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=1+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-8}{x-2}+\frac{\frac{27}{2}}{x-2}\\ \therefore & \frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=1+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{8}{x-2}+\frac{27}{2(x-3)}\end{array}$ 

এটিই নির্ণেয় আংশিক  ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ। 

এখানে, $\frac{p}{x^2-yz}=\frac{q}{y^2-zx}=\frac{r}{z^2-xy}\ne 0$ 
ধরি, $\frac{p}{x^2-yz}=\frac{q}{y^2-zx}=\frac{r}{z^2-xy}=\frac{1}{k}\ne 0$ 

$\therefore \frac{q}{x^2-yz}=\frac{1}{k}$

বা, $pk=x^2-yz$
বা, $x^3-xyz=pxk$$......$ [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে]

$\frac{q}{y^2-zx}=\frac{1}{k}$

বা, $\mathrm{qk}=y^2-\mathrm{zx}$
বা, $y^3-xyz=qyk$$......\left(ii\right)$  [উভয়পক্ষকে y দ্বারা গুণ করে] এবং $\frac{r}{z^2-\mathrm{xy}}=\frac{1}{k}$
বা, $\mathrm{rk}=z^2-\mathrm{xy}$
বা, $z^3-xyz=rzk$$......\left(iii\right)$ [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে]
(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$x^3-xyz+y^3-xyz+z^3-xyz=pxk+qyk+rzk$

বা, $x^3+y^3+z^3-3xyz=k(px+qy+rz)$
বা, $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-\mathrm{xy}-\mathrm{yz}-\mathrm{zx})=k(\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz})$
বা, $(x+y+z)\{(x^2-\mathrm{yz})+(y^2-\mathrm{zx})+(z^2-\mathrm{xy})\}=k(\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz})$
বা, $(x+y+z)(pk+qk+rk)=k(px+qy+rz)$

$[\because x^2-yz=pk,y^2-zx=qk,z^2-xy=rk]$

বা, $(x+y+z)k(p+q+r)=k(px+qy+rz)$
$\therefore (p+q+r)(x+y+z)=\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}$ (দেখানো হলো)