সৃজনশীলঃ ‘(i) f(x)=9−x2,(ii) x2+y2=16…’ সিলেট সরকারি কলেজ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2=16$ ......... (i)

বা, $x^2+y^2=4^2$

বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ = 4 একক

(i)নং হতে পাই,

$x^2+y^2=16$

বা, $y^2=16-x^2$

$\therefore y=\pm \sqrt{16-x^2}$

যেহেতু $x$-অক্ষের উপরের অংশে $y$ ধনাত্মক

অর্থাৎ $y=\sqrt{16-x^2}$

ধরি,

$x=4\sin \theta$

$\therefore \mathrm{dx}=4\cos \theta d\theta$

$x=0$ হলে, $\theta =0$

এবং $x=4$ হলে $\theta =\frac{\pi }{2}$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=4\times \mathrm{AOB}$ অংশের ক্ষেত্রফল

$=4{\int }_0^{4}ydx=4{\int }_0^4\sqrt{16-x^2}dx$

$=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{16-(4\sin \theta {)}^2}\cdot 4\cos \theta d\theta$

$=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{16-16{\sin }^2\theta }\cdot 4\cos \theta d\theta$

$=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{16(1-{\sin }^2\theta )}4\cos \theta d\theta$

$=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}4\cdot \sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cdot 4\cos \theta d\theta$

$=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}4\cdot \sqrt{{\cos }^2\theta }\cdot 4\cos \theta d\theta =32{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\cos }^2\theta d\theta$

$=32{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta =32{[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

$=32[\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\sin (2\cdot \frac{\pi }{2})]-32(0+0)$

$=32(\frac{\pi }{2}+0)-0=32\times \frac{\pi }{2}=16\pi$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $16\pi$ বর্গ একক।