সৃজনশীলঃ ‘(i) f(x)=cot⁡x (ii)…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cot x$

এখন, $\int \frac{1dx}{1+f(\frac{\pi }{2}-x)}=\int \frac{dx}{1+\cot (\frac{\pi }{2}-x)}$

$\int \frac{1}{1+\tan x}dx=\int \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}dx$

$=\int \frac{\cos xdx}{\cos x+\sin x}=\frac{1}{2}\int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x}dx$

$=\frac{1}{2}\int 1dx+\frac{1}{2}\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}dx$

ধরি; $z=\cos x+\sin x$

$\therefore \mathrm{dz}=(\cos x-\sin x)\mathrm{dx}$

$\therefore \int \frac{1}{1+\tan x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int \frac{dz}{z}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln |z|+c$

$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\ln |\cos x+\sin x|+c(Ans.)$

দেওয়া আছে, $L=x-3=0$ এবং$Q(x,y)=x^2+y^2-25=0$

বা, $y^2=25-x^2$

$\therefore y=\pm \sqrt{25-x^2}$

কিন্তু ১ম চতুর্ভাগে$y>0$

অর্থাৎ$y=\sqrt{25-x^2}$

$\therefore$নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $=\mathrm{PQRS}$ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$=2\times$ PQSP ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$=2{\int }_3^{5}ydx=2{\int }_3^5\sqrt{25-x^2}dx=2{\int }_3^5\sqrt{5^2-x^2}dx$

$=2{[\frac{x\sqrt{25-x^2}}{2}+\frac{25}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{5}]}_3^5$

$[\because \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x}{a}+c]$

$=2[\{0+\frac{25}{2}{\sin }^{-1}(1\left)\right\}-\{6+\frac{25}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}\}]$

$=25{\sin }^{-1}(\sin \frac{\pi }{2})-12-25{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$=(\frac{25\pi }{2}-25{\sin }^{-1}\frac{3}{5}-12)$বর্গ একক (Ans.)