সৃজনশীলঃ ‘(i) f(x) =…’ সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)={\sin }^{2}x$

$f(x-\pi /2)={\sin }^2(x+\pi /2)$

$=[\sin \{(\pi /2-x)\}{]}^2$

$=(-\cos x{)}^2$

$={\cos }^{2}x$

Let,

$\tan x=t$

$\Rightarrow \frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}t$

$\therefore {\sec }^{2}xdx=dt$

এখানে,

${\int }_0^{\pi /4}\frac{dx}{1+3f(x-\pi /2)}={\int }_0^{\pi /4}\frac{dx}{1+3{\cos }^{2}x}$

$\begin{array}{cc}& ={\int }_0^{\pi /4}\frac{{\sec }^{2}x}{{\sec }^{2}x+3\cdot {\cos }^{2}x\cdot {\sec }^{2}x}dx\\ & ={\int }_0^{\pi /4}\frac{{\sec }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x+3}dx\\ & ={\int }_0^{\pi /4}\frac{{\sec }^{2}x}{4+{\tan }^{2}x}dx\end{array}$

$={\int }_0^1\frac{dt}{4+t^2}$

$={\int }_0^1\frac{dt}{2^2+t^2}$

$={[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{t}{2}]}_0^1$

$=\frac{1}{2}({\tan }^{-1}1/2-{\tan }^{-1}0)$

$=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$ (Ans)

বক্সরেখার সমীকরণ,

y = x² .......... (ii)

সরলরেখার সমীকরণ, x – y + 6 = 0 ....... (i)

(i) x (ii) হতে,

$x-x^2+6=0$

$\Rightarrow x^2-x+6=0$

$\Rightarrow x^2-3x+2x-6=0$

$\Rightarrow x(x-3)+2(x-3)=0$

$\therefore (x+2)(x-3)=0$

$\therefore x=-2,3$

$\therefore y=4,9$

ছেদ বিন্দুদ্বয় $B(-2,4)$এবং$A(3,9)$.

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $={\int }_{-2}^3(y_2-y_1)dx$

$={\int }_{-2}^3(x+6-x^2)dx$

$={[\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}]}_{-2}^3$

$=(\frac{9}{2}+63-\frac{3^3}{3})-\{\frac{4}{2}+6(-2)-\frac{(-2{)}^2}{3}\}$

$=(\frac{9}{2}+18-9)-(2-12+\frac{8}{3})$

$=\frac{27}{2}-(-\frac{22}{3})$

$=\frac{27}{2}+\frac{22}{3}$

$=\frac{125}{6}$ একক

$\therefore$ বক্সরেখা এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{125}{6}$ বর্গ একক।