সৃজনশীলঃ ‘(i) F(x)=x2x+3(ii) G(x)=1(x−1)(x2+9)…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, $y=F\left(x\right)$

বা, $y=\frac{x}{2x+3}$

বা, $2xy+3y=x$

বা, $2xy-x=-3y$

বা, $x-2xy=3y$

বা, $x(1-2y)=3y$

বা, $x=\frac{3y}{1-2y}$

বা, $F^{-1}\left(y\right)=\frac{3y}{1-2y}[\because y=F(x)$ হলে $x=F^{-1}\left(y\right)$ হবে $]$

$\therefore F^{-1}\left(x\right)=\frac{3x}{1-2x}$

প্রশ্নমতে, $3F^{-1}\left(x\right)=x$

বা, $3\times \frac{3x}{1-2x}=x$

বা, $\frac{9x}{1-2x}=x$

বা, $x-2x^2=9x$

বা, $2x^2+8x=0$

বা, $2x(x+4)=0$

হয়, $2x=0$

$\therefore x=0$

অথবা, $x+4=0$

$\therefore x=-4$

∴ নির্ণেয় $x$ এর মান $=0,-4$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $G\left(x\right)=\frac{1}{(x-1)(x^2+9)}$

প্রদত্ত রাশি $=(x^2-4x-7)G\left(x\right)$

$=\frac{x^2-4x-7}{(x-1)(x^2+9)}$

ধরি, $\frac{x^2-4x-7}{(x-1)(x^2+9)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+9}$

(i) নং এর উভয়পক্ষকে $(x-1)(x^2+9)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2-4x-7\equiv A(x^2+9)+(Bx+C)(x-1)$

বা, $x^2-4x-7\equiv A{x}^2+9A+B{x}^2-Bx+Cx-C$

$\therefore x^2-4x-7\equiv (A+B)x^2+(C-B)x+(9A-C)$

(ii) নং এর উভয় পক্ষে $x=1$ বসিয়ে পাই, $1-4-7=A(1+9)+0$

বা, $10A=-10$

$\therefore A=-1$

(iii) নং এ $x^2$ ও $x$ এর সহগদ্বয় সমীকৃত করে পাই, $A+B=1$

বা, $B=1-A=1-(-1)=1+1\therefore B=2$

এবং $C-B=-4$

বা, $C=B-4=2-4\therefore C=-2$

$A,B$ ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2-4x-7}{(x-1)(x^2+9)}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2x-2}{x^2+9};$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (Ans.)