সৃজনশীলঃ ‘(i) g(x)=x2(x−1)2(x−3)(ii) P(y)=y3+y2+4.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(y\right)=y^3+y^2+4$ 

$P\left(y\right)$ কে $(2y+m)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(-\frac{m}{2})$ 

$\begin{array}{cc}\therefore P(-\frac{m}{2})& ={(-\frac{m}{2})}^3+{(-\frac{m}{2})}^2+4\\ & =\frac{-m^3}{8}+\frac{m^2}{4}+4=\frac{-m^3+2m^2+32}{8}\end{array}$ 

আবার, $P\left(x\right)$ কে $(2y+n)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(-\frac{n}{2})$ 

$\begin{array}{cc}\therefore P(-\frac{n}{2})& ={(-\frac{n}{2})}^3+{(-\frac{n}{2})}^2+4\\ & =\frac{-n^3}{8}+\frac{n^2}{4}+4=\frac{-n^3+2n^2+32}{8}\end{array}$ 

শর্তমতে, $P(-\frac{m}{2})-P(-\frac{n}{2})$
বা, $\frac{-m^3+2m^2+32}{8}=\frac{-n^3+2n^2+32}{8}$
বা, $-m^3+2m^2+32=-n^3+2n^2+32$
বা, $-m^3+2m^2=-n^3+2n^2$
বা, $m^3-2m^2=n^3-2n^2$ বা, $m^3-n^3=2m^2-2n^2$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2)=2(m+n)(m-n)$
বা, $(m-n)\{m^2+mn+n^2-2(m+n\left)\right\}=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2-2m-2n)=0$
$\therefore m^2+mn+n^2-2m-2n=0$ যেহেতু $m\ne n$, সেহেতু $m-n\ne 0$.
(দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{x^2}{(x-1{)}^2(x-3)}$ 
ধরি, $\frac{x^2}{(x-1{)}^2(x-3)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x-3}$$...\left(i\right)$
(i) এর উভয়পক্ষকে $(x-1{)}^2(x-2)$ এর গুণ করে পাই,

$x^2\equiv A(x-1)(x-3)+B(x-3)+C(x-1{)}^2$$...\left(ii\right)$

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1^2=A(1-1)(1-3)+B(1-3)+C(1-1{)}^2$

বা, $1=A\times 0+B\times (-2)+C\times 0$
বা, $-2B=1$

$\therefore B=-\frac{1}{2}$

$\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=3$ বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{cc}& 3^2=A(3-1)(3-3)+B(3-3)+C(3-1{)}^2\\ & 9=A\times 0+B\times 0+C\times 4\end{array}$ 

বা, $9=4C$ 

$\therefore C=\frac{9}{4}$ 

আবার, (ii) এর উভয়পক্ষ হতে $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$1=A+C$

বা, $1=A+\frac{9}{4}$ বা, $A=1-\frac{9}{4}=\frac{4-9}{4}=\frac{-5}{4}$
এখন, A, B ও C এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

$\frac{x^2}{(x-1{)}^2(x-3)}\equiv \frac{-\frac{5}{4}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{(x-1{)}^2}+\frac{\frac{9}{4}}{x-3}$ 

$\equiv -\frac{5}{4(x-1)}-\frac{1}{2(x-1{)}^2}+\frac{4}{4(x-3)}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ ।