সৃজনশীলঃ ‘(i)(ii) P1 এবং…’ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, $\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ ও $\mathrm{AB}$ বাহুর সমান্তরাল যথাক্রমে $\mathrm{OX},\mathrm{OY}$ ও $\mathrm{OZ}$ বরাবর সমান মানের $M$ বল ক্রিয়ারত আছে এবং তাদের লব্ধি R বল OX এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

OX বরাবর এবং এর উপর লম্ব রেখা বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই,
$R\cos \theta =M\cos 0^{\circ }+M\cos (\pi -C)+M\cos (\pi +B)$

বা, $R\cos \theta =M(1-\cos C-\cos B).............\left(1\right)$

এবং $R\sin \theta =M\sin 0^{\circ }+M\sin (\pi -C)+M\sin (\pi +B)$

বা, $R\sin \theta =M(\sin C-\sin B)..........\left(2\right)$

(1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,

$\begin{array}{cc}{R}^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=& M^2\\ & \left[\right(1-\cos C-\cos B{)}^2+(\sin C-\sin B{)}^2]\end{array}$

বা, $R^2=M^2[1+{\cos }^{2}C+{\cos }^{2}B-2\cos C-2\cos B+2\cos B\cos C+{\sin }^{2}C+{\sin }^{2}B-2\sin B\sin C]$

বা, $R^2=M^2[1+{\cos }^{2}C+{\sin }^{2}C+{\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B-2\cos C-2\cos B+2\cos B\cos C-2\sin B\sin C]$

বা, $R^2=M^2[1+1+1-2\cos C-2\cos B+2\cos (B+C\left)\right]$

বা, $R^2=M^2[3-2\cos C-2\cos B+2\cos (\pi -A\left)\right]$

বা, $R=M\sqrt{3-2\cos C-2\cos B-2\cos A}$

$\therefore$ লব্ধি, $R=M\sqrt{3-2\cos A-2\cos B-2\cos C}$. (প্রমাণিত) 

[বি. দ্র : M এর পরিবর্তে F হবে]

ধরি, $P_1$ ও $P_2$ সদৃশ সমান্তরাল বল দুইটি A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত এবং সমান ও অসদৃশ ও সমান্তরাল $P_3$ মানের বল দুইটিকে $M$ ও N বিন্দুতে প্রয়োগ করা হয়েছে। $M$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P_3$ বল $P_1$ ও $P_2$ এর সদৃশ।

$\therefore MN=d$
ধরি, $P_1$ ও $P_2$ সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি $(P_1+P_2),C$ বিন্দুগামী। এখন, M বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P_3$ বল এবং C বিন্দুতে ত্রিয়ারত $(P_1+P_2)$ দুইটির লব্ধি $P_1+P_2+P_3$ এবং এটি D বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।
$\therefore (P_1+P_2).CD=P_3.MD.$...................(1)

আবার, D ও N বিন্দুদ্বয়ে ক্রিয়াশীল যথাক্রমে $(P_1+P_2+P_3)$ ও $P_3$ অসদৃশ সমান্তরাল বল দুইটির লব্ধি $P_1+P_2$ এবং ধরি এটি G বিন্দুতে ক্রিয়ারত।

$\therefore (P_1+P_2+P_3)\cdot DG=P_3\cdot NG$
বা, $(P_1+P_2)\cdot DG=P_3\cdot NG-P_3\cdot DG$
বা, $(P_1+P_2).DG=P_3.(NG-DG)$
$\therefore (P_1+P_2)\cdot \mathrm{DG}=P_3\cdot \mathrm{DN}$

এখন, (1) ও (2) সমীকরণ যোগ করে পাই,

$(P_1+P_2)\cdot CD+(P_1+P_2)\cdot DG=P_3\cdot MD+P_3\cdot DN$
বা, $(P_1+P_2)\cdot (CD+DG)=P_3\cdot (MD+DN)$
বা, $(P_1+P_2)\cdot CG=P_3\cdot MN$
বা, $CG=\frac{P_3\cdot MN}{P_1+P_2}$
$\therefore \mathrm{CG}=\frac{P_{3}d}{.}..................\left(2\right)P_1+P_2[\because \mathrm{MN}=d]$

অর্থাৎ লব্ধি $\frac{{\mathrm{dP}}_3}{P_1+P_2}$ দূরত্বে সরে যাবে। (দেখানো হলো)