সৃজনশীলঃ ‘(i) m=12{x+y3−x−y3} এবং…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) $m = \frac{1}{2} {\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}}$ এবং $x^{2} - y^{2} = z^{3}$

(ii) $n = \log (3 + 5 x) - 2 \log x$

উত্তর:

দেওয়া আছে, $a^{2} + b^{2} = 11 a b$

বা, $a^{2} - 2 a b + b^{2} = 9 a b$

বা, $(a - b)^{2} = 9 a b$

বা, $(a - b)^{2} = (3 \sqrt{a b})^{2}$

বা, $a - b = 3 \sqrt{ab}$

বা, $\frac{a - b}{3} = (a b)^{\frac{1}{2}}$

বা, $\log (\frac{a - b}{3}) = \log (ab)^{\frac{1}{2}}$ [উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে]

$∴ \log (\frac{a - b}{3}) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)$ . (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $n = \log (3 + 5 x) - 2 \log x$

বা, $\log (3 + 5 x) - 2 \log x = 0$ $[∵ n = 0]$

বা, $\log (3 + 5 x) - \log x^{2} = \log 1$ $[∵ \log 1 = 0]$

বা, $\log (\frac{3 + 5 x}{x^{2}}) = \log 1$

বা, $\frac{3 + 5 x}{x^{2}} = 1$

বা, $x^{2} - 5 x - 3 = 0$

$∴ x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4.1 (- 3)}}{2.1} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$

হয়, $x = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}$

অথবা, $x = \frac{5 - \sqrt{37}}{2}$ যা গ্রহণযোগ্য নয় ।

বা, $2 x = 5 + \sqrt{37}$

$∴ 2 x - 5 = \sqrt{37}$ . (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $m = \frac{1}{2} {\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}}$ এবং $x^{2} - y^{2} = z^{3}$

এখন, $m = \frac{1}{2} {\sqrt[3]{x + y} - \sqrt[3]{x - y}}$

বা, $2 m = (x + y)^{\frac{1}{3}} - (x - y)^{\frac{1}{3}}$

বা, $(2 m)^{3} = {(x + y)^{\frac{1}{3}} - (x - y)^{\frac{1}{3}}}$ [ঘন করে]

বা, $8 m^{3} = (x + y) - (x - y) - 3 (x + y)^{\frac{1}{3}}$

$\cdot (x - y)^{\frac{1}{3}} {(x + y)^{\frac{1}{3}} - (x - y)^{\frac{1}{3}}}$

বা, $8 m^{3} = 2 y - 3 {(x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{3}} \cdot 2 m$

বা, $8 m^{3} = 2 y - 3 {(z^{3})}^{\frac{1}{3}} .2 m$

বা, $8 m^{3} = 2 y - 6 mz$

বা, $4 m^{3} = y - 3 mz$

$∴ 4 m^{3} + 3 mz - y = 0$ . (প্রমাণিত)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর