সৃজনশীলঃ ‘(i) N=logk⁡(7+x)logk⁡x(ii) p2+2=323+3−23…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে $p^2+2=3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{-2}{3}}$

বা, $p^2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2+{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^2-2$

বা, $p^2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2-2\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}+{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^2$

বা, $p^2={(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})}^2$

বা, $p=3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $(p{)}^3={(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})}^3$ [ঘন করে]

বা, $p^3={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^3-{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^3-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})$

বা, $p^3=3-3^{-1}-{33}^0\cdot p[\because p=3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}}]$

বা, $p^3=3-\frac{1}{3}-3p$

বা, $3p^3=9-1-9p$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]

$\therefore 3p^3+9p=8$

সুতরাং, $3p^3+9p=8$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $N=\frac{{\log }_k(7+x)}{{\log }_{k}x}$

$N=2$ হলে, $\frac{{\log }_k(7+x)}{{\log }_{k}x}=2$

বা, ${\log }_k(7+x)=2{\log }_{k}x$

বা, ${\log }_k(7+x)={\log }_k{x}^2$

বা, $7+x=x^2$

বা, $x^2-x-7=0$, যা $x$ চলকের দ্বিঘাত সমীকরণ।

$\therefore x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)}}{2\cdot 1}$$=\frac{1\pm \sqrt{1+28}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{29}}{2}$

অর্থাৎ, $x=\frac{1+\sqrt{29}}{2},\frac{1-\sqrt{29}}{2}$

কিন্তু $x\ne \frac{1-\sqrt{29}}{2}$ [কারণ $x$ এর মান ঋণাত্মক হলে ${\log }_{x}x$ অসংজ্ঞায়িত হয়]

সুতরাং, $x=\frac{1+\sqrt{29}}{2}$. (দেখানো হলো)