সৃজনশীলঃ ‘(i) p(x+4)2+q(y+1)2=pq(ii) 18×2+5y2=180…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

(i) নং থেকে পাই,

$p(x+4{)}^2+q(y+1{)}^2=pq$

$\because p=9\text{ and }9=-16$

$\therefore 9(x+4{)}^2-16(y+1{)}^2=9(-16)$

$\Rightarrow 9(x+4{)}^2-16(y+1{)}^2=-144$

$\Rightarrow 16(y+1{)}^2-9(x+4{)}^2=144$

$\Rightarrow \frac{(y+1{)}^2}{9}-\frac{(x+4{)}^2}{16}=1$ .... (i)

(i) নং অধিবৃত্তটির আয় অক্ষ y-অক্ষের সমান্তরাল।

(i) নং সমীকরণকে কণিকের আদর্শ সমীকরণ $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$এর সাথে তুলনা করে পাই,

$x=x+4;y=y+1$

$a^2=16$ এবং $b^2=9$

$\therefore a=4$

$\therefore b=3$

$\therefore$ অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{b^2}}$

$=\sqrt{\frac{16+9}{9}}$

$=\frac{5}{3}$

$\therefore$ অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বদ্বয়ের সমীকরণ নিম্নরূপ :

$Y=\pm be$

$\Rightarrow y+1=\pm 3\cdot \frac{5}{3}$

$\Rightarrow y+1=\pm 5$

(+) নিয়ে, (quad) (-) নিয়ে

$y+1=5y+1=-5$

$y=4y=-6$

$\therefore$ অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বদ্বয়ের সমীকরণ

$y=4$ এবং $y=-6$

(ii) নং পাই,

$18x^2+5y^2=180$

$\Rightarrow \frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{36}=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{(\sqrt{10}{)}^2}+\frac{y^2}{6^2}=1....\left(ii\right)$

(i) নং উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ হল y অক্ষ।

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b{b}^2{b}^2}}$

$=\sqrt{\frac{36-10}{1036}}$

$=\sqrt{\frac{26}{36}}$

$=\frac{\sqrt{26}}{6}$

$\therefore$ নির্ণেয় উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{\sqrt{26}}{6}$

এবং উপকেন্দ্র, $S(-8,2)$

আবার, নিয়ামক MZ এর সমীকরণ, x + y -3 = 0

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোন বিন্দু P(x,y)

উপবৃত্তের সংখ্যা হতে জানি,

$SP=e\cdot PM$

$\Rightarrow \sqrt{(x+8{)}^2+(y-2{)}^2}=\frac{\sqrt{26}}{6}\left|\frac{x+y-3}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|$

$\Rightarrow (x+8{)}^2+(y-3{)}^2=\frac{26}{36}\frac{(x+y-3{)}^2}{2}$ [বর্গ করে]

$\Rightarrow x^2+16x+64+y^2-6y+9=\frac{13}{18}(x^2+y^2+9+2xy-6x-6y)$

$\Rightarrow 18x^2+288x+1152+18y^2-108y+162=13x^2+13y^2+117+26xy-78x-78y$

$\Rightarrow 18x^2+18y^2+288x-108y+1314+13x^2-13y^2-117-26xy+78x+78y=0$

$\Rightarrow 5x^2+5y^2-26xy+366x-30y+197=0$