সৃজনশীলঃ ‘(i) p−1=loga⁡bc,q−1=logb⁡ca,r−1=logc⁡ab.(ii) y=5−x5+x.…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে,

$p-1={\log }_a\mathrm{bc}$ ......... (i)

$q-1={\log }_b\mathrm{ca}$ ......... (ii)

$r-1={\log }_c\mathrm{ab}$ ......... (iii)

(i)নং হতে পাই,

$p-1={\log }_{a}bc$

বা, $p={\log }_a\mathrm{bc}+1$

বা, $p={\log }_{a}bc+{\log }_{a}a[\because {\log }_{a}a=1]$

বা, $p={\log }_a\mathrm{abc}$
বা, $a^p=abc$

$\therefore a=(abc{)}^{\frac{1}{p}}$

অনুরূপভাবে, (ii) ও (iii)নং হতে পাই,

$b=(\mathrm{abc}{)}^{\frac{1}{q}}$ ......... (v)

এবং $c=(abc{)}^{\frac{1}{r}}$ ......... (vi)

(iv), (v) ও (vi)নং সমীকরণ গুণ করে পাই,

$abc=(abc{)}^{\frac{1}{p}}\cdot (abc{)}^{\frac{1}{q}}\cdot (abc{)}^{\frac{1}{r}}$

বা, $(abc{)}^1=(abc{)}^{\frac{1}{p}}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$

বা, $1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$

বা, $1=\frac{\mathrm{qr}+\mathrm{rp}+\mathrm{pq}}{\mathrm{pqr}}$

বা, $\mathrm{qr}+\mathrm{rp}+\mathrm{pq}=\mathrm{pqr}$

$\therefore \mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp}-\mathrm{pqr}=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$y=\frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}+x}$

এখন, $g\left(x\right)=\ln y$ হলে,

$g\left(x\right)=\ln \frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}+x}$

ধরি, $y=g\left(x\right)=\ln \frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}+x}$

অর্থাৎ, $y=\ln \frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}+x}$

বা, $e^y=\frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}+x}$

বা, $\sqrt{5}{e}^y+{\mathrm{xe}}^y=\sqrt{5}-x$

বা, $x+x{e}^y=\sqrt{5}-\sqrt{5}{e}^y$

বা, $x(1+e^y)=\sqrt{5}(1-e^y)$

বা, $x=\frac{\sqrt{5}(1-e^y)}{1+e^y}$

এখানে, $y$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ ফাংশনটির রেঞ্জ = $R$.