সৃজনশীলঃ ‘(i) tan⁡θ=13 এবং…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $\sin \theta$ ঋণাত্মক
$\therefore \theta$ এর অবস্থান তৃতীয় চর্তুভাগে

$\therefore \tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{y}{x}$
$\therefore x=\sqrt{3},y=1$

কিন্তু তৃতীয় চতুর্ভাগে, x এবং y ঋণাত্মক

$\begin{array}{cc}\therefore & y=-1,x=-\sqrt{3}\\ & r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2\\ \therefore & \sin (-\theta )=-\sin \theta =-\frac{y}{r}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}\\ \therefore & \cos (-\theta )=\cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\\ & \tan (-\theta )=-\tan \theta =-\frac{y}{x}=-\frac{-1}{-\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & \sec (-\theta )=\sec \theta =\frac{r}{x}=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$

প্রদত্ত রাশি $=\frac{\sin (-\theta )+\cos (-\theta )}{\tan (-\theta )+\sec (-\theta )}=\frac{-\sin \theta +\cos \theta }{-\tan \theta +\sec \theta }=\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}}$

$=\frac{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}{\frac{-1-2}{\sqrt{3}}}=\frac{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}{-\sqrt{3}}=-\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$

নির্ণেয় মান : $\frac{3-\sqrt{3}}{6}$.

দেওয়া আছে, $m=\sec x,n=\tan x$ এবং $m^2+n^2=\frac{5}{3}$ হলে, ${\sec }^{2}x+{\tan }^{2}x=\frac{5}{3}$

বা, $3({\sec }^{2}x+{\tan }^{2}x)=5$
বা, $3(\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x})=5$
বা, $3\left(\frac{1+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\right)=5$
বা, $3(1+{\sin }^{2}x)=5{\cos }^{2}x$
বা, $3+3{\sin }^{2}x-5{\cos }^{2}x=0$
বা, $3+3{\sin }^{2}x-5(1-{\sin }^{2}x)=0$
বা, $3+3{\sin }^{2}x-5+5{\sin }^{2}x=0$
বা, $8{\sin }^{2}x-2=0$
বা, $8{\sin }^{2}x=2$ বা, ${\sin }^{2}x=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

$\therefore \sin \theta =\pm \frac{1}{2}$

$\therefore \sin x=\frac{1}{2}$ হলে, প্রথম চতুর্ভাগে, $\sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$
$\therefore x=\frac{\pi }{6};$ যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<x<2\pi$

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে $\sin x=\frac{1}{2}=\sin (\pi -\frac{\pi }{6})$
$\therefore x=\frac{5\pi }{6}$; যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<x<2\pi$

আবার, $\sin x=-\frac{1}{2}$ হলে,

তৃতীয় চতুর্ভাগে $\sin x=-\frac{1}{2}=\sin (\pi +\frac{\pi }{6})$

$\therefore x=\frac{7\pi }{6}$; যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<x<2\pi$

চতুর্থ চতুর্ভাগে $\sin x=-\frac{1}{2}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{6})$

$\therefore x=\frac{11\pi }{6}$; যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<x<2\pi$

নির্ণেয় মান : $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$.