সৃজনশীলঃ ‘(i) x2−yza=y2−xxb=x2−xyc≠0.(ii) P(x)=x3−25x…’ ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-25x$

$\begin{array}{c}=x(x^2-5^2)=x(x+5)(x-5)\\ \therefore \frac{x^3}{P\left(x\right)}=\frac{x^3}{x(x+5)(x-5)}=\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}\end{array}$

ধরি, $\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}\equiv 1+\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-5}$$...\left(1\right)$
(1)নং এর উভয়পক্ষকে $(x+5)(x-5)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2\equiv (x+5)(x-5)+A(x-5)+B(x+5)$$...\left(2\right)$

(2) নং এ $x=5,-5$ বসিয়ে পাই,

$5^2=0+A\cdot 0+B\cdot 10$

বা, $10B=25$
বা, $B=\frac{25}{10}$

$\therefore B=\frac{5}{2}$

আবার, $(-5{)}^2=0+A(-10)+B.0$
বা, $-10A=25$
বা, $A=-\frac{25}{10}$

$\therefore A=-\frac{5}{2}$

A ও B এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}& \equiv 1+\frac{-\frac{5}{2}}{x+5}+\frac{\frac{5}{2}}{x-5}\\ & =1-\frac{5}{2(x+5)}+\frac{5}{2(x-5)}\end{array}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

ধরি, $\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}=\frac{1}{k}$

$\frac{x^2-yz}{a}=\frac{1}{k}$

বা, $a-k(x^2-yz)$$.....\left(i\right)$

$\frac{y^2-zx}{b}=\frac{1}{k}$

বা, $b=k(y^2-zx)$$.....\left(ii\right)$

$\frac{z^2-xy}{c}=\frac{1}{k}$

বা, $c=k(z^2-xy)$$.....\left(iii\right)$

বামপক্ষ $=(a+b+c)(x+y+z)$

$\begin{array}{cc}& =\{k(x^2-yz)+k(y^2-zx)+k(z^2-xy)\}(x+y+z)\\ & =k(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\ & =k(x^3+y^3+z^3-3xyz)\end{array}$

ডানপক্ষ = $ax+by+cz$

$\begin{array}{cc}& =k(x^2-yz)x+k(y^2-zx)y+k(z^2-xy)z\\ & =k(x^3-xyz+y^3-xyz+z^3-xyz)\\ & =k(x^3+y^3+z^3-3xyz)\end{array}$

$\therefore (a+b+c)(x+y+z)=ax+by+cz$ (দেখানো হলো)