সৃজনশীলঃ ‘(i) xa=yb=zc এবং…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) নং হতে পাই, 

$\sqrt[a]{x}=\sqrt[b]{y}=\sqrt[c]{z}$ এবং $xyz=1$ 

ধরি, $\sqrt[a]{x}=\sqrt[b]{y}=\sqrt[c]{z}=k$ 

$\therefore \sqrt[a]{x}=k$
বা, $\left(x^{\frac{1}{a}}\right)=k$
বা, ${\left(x^{\frac{1}{a}}\right)}^a=k^a$
বা, $x=k^a$

$\therefore \sqrt[b]{y}=k$

বা, $\left(y^{\frac{1}{b}}\right)=k$
বা, ${\left(y^{\frac{1}{b}}\right)}^b=k^b$
বা, $y=k^b$

$\therefore \sqrt[c]{z}=k$

বা, $\left(z^{\frac{1}{c}}\right)=k$
বা, ${\left(z^{\frac{1}{c}}\right)}^c=k^c$
বা, $z=k^c$ 

এখন, $\mathrm{xyz}=1$
বা, $k^a\cdot k^b\cdot k^c=1$
বা, $k^{a+b+c}=k^0$
$\therefore a+b+c=0$ 

বামপক্ষ $=\frac{1}{x^b+x^{-c}+1}+\frac{1}{x^c+x^{-a}+1}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{x^{-b}}{x^b\cdot x^{-b}+x^{-c}\cdot x^{-b}+x^{-b}}+\frac{x^a}{x^c\cdot x^a+x^{-a}\cdot x^a+x^a}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}\\ & =\frac{x^{-b}}{1+x^{-(b+c)}+x^{-b}}+\frac{x^a}{x^{(a+c)}+1+x^a}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}\\ & =\frac{x^{-b}}{1+x^a+x^{-b}}+\frac{x^a}{x^{-b}+1+x^a}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}[\because a+b+c=0]\\ & =\frac{x^{-b}}{1+x^a+x^{-b}}+\frac{x^a}{1+x^a+x^{-b}}+\frac{1}{1+x^a+x^{-b}}\end{array}$

$=\frac{x^{-b}+x^a+1}{1+x^a+x^{-b}}=\frac{(1+x^a+x^{-b})}{(1+x^a+x^{-b})}=1=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \frac{1}{x^b+x^{-c}+1}+\frac{1}{x^c+x^{-a}+1}+\frac{1}{x^a+x^{-b}+1}=1$. (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\ln \frac{5+x}{5-x}$
যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়। $\therefore \frac{5+x}{5-x}>0$ হবে যদি (i) $5+x>0$ এবং $5-x>0$ হয়
অথবা, (ii) $5+x<0$ এবং $5-x<0$ হয়
(i)নং হতে পাই,

$x>-5$ এবং -$x>-5$

বা, $x>-5$ এবং $x<5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x>-5\}\cap \{x:x<5\}$
$=(-5,\infty )\cap (-\infty ,5)=(-5,5)$

(ii)নং হতে পাই,

$x<-5$ এবং $-x<-5$

বা, $x<-5$ এবং $x>5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-5\}\cap \{x:x>5\}=(-\infty ,-5)\cap (5,\infty )=\varnothing$
∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন
$D_f=\left(i\right)$ ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-5,5)\cup \varnothing =(-5,5)$

ধরি, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{5+x}{5-x}$
বা, $e^y=\frac{5+x}{5-x}$
বা, $5+x=5e^y-x{e}^y$
বা, $x+{\mathrm{xe}}^y=5e^y-5$
বা, $x(1+e^y)=5(e^y-1)$
বা, $x=\frac{5(e^y-1)}{e^y+1}$
y-এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।
∴ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=R$
নির্ণেয় ডোমেন $D_f=(-5,5)$ এবং রেঞ্জ $R_f=R$.