সৃজনশীলঃ ‘(i) xy+yx=18(ii) logk⁡(4z−1)logk⁡z=2.…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=18$

বা, $\frac{x^2+y^2}{xy}=18$

বা, $x^2+y^2=18xy$

বা, $x^2+y^2-2xy=18xy-2xy$

বা, $(x-y{)}^2=16xy$

বা, $\frac{(x-y{)}^2}{16}=xy$

বা, ${\left(\frac{x-y}{4}\right)}^2=xy$

বা, $\frac{x-y}{4}=\sqrt{xy}$ [বর্গমূল করে]

বা, $\frac{x-y}{4}=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}$

বা, $\log \left(\frac{x-y}{4}\right)=\log (\sqrt{x}\cdot \sqrt{y})$ [উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে]

বা, $\log (x-y)-\log 4=\log \sqrt{x}+\log \sqrt{y}$

বা, $\log (x-y)=\log 4+\log x^{\frac{1}{2}}+\log y^{\frac{1}{2}}$

বা, $\log (x-y)=\log 2^2+\log x^{\frac{1}{2}}+\log y^{\frac{1}{2}}$

$\therefore \log (x-y)=2\log 2+\frac{1}{2}\log x+\frac{1}{2}\log y$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\frac{{\log }_k(4z-1)}{{\log }_{k}z}=2$

বা, ${\log }_k(4z-1)=2{\log }_{k}z$

বা, ${\log }_k(4z-1)={\log }_k{z}^2$

বা, $4z-1=z^2$

বা, $z^2-4z+1=0$

বা, $z=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}$

বা, $z=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}$

বা, $z=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=\frac{2(2\pm \sqrt{3})}{2}$

$\therefore z=2\pm \sqrt{3}$. (দেখানো হলো)