সৃজনশীলঃ ‘i. x+y+z=Rii. p=x+iy…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $p=x+\mathrm{iy}$

p জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা, $q=x-iy$

এখন, $|p+3i|=|q+4|$

বা, $|x+iy+3i|=|x-iy+4|$

বা, $|x+i(3+y)|=|(x+4)-iy|$

বা, $\sqrt{x^2+(y+3{)}^2}=\sqrt{(x+4{)}^2+(-y{)}^2}$

বা, $x^2+(y+3{)}^2=(x+4{)}^2+y^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2+y^2+6y+9=x^2+8x+16+y^2$

বা, $8x+16=6y+9$

বা, $8x-6y+7=0$; যা সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে।

নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, $8x-6y+7=0$.

দেওয়া আছে,

$x+y+z=R$

আবার, $R=0\therefore x+y+z=0$

এখানে,

$\omega$ হলো এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল।

$\therefore$ অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি $={\omega }^2$

ধরি,

$x+y\omega +z{\omega }^2=a$ এবং $x+y{\omega }^2+z\omega =b$

$\therefore {(x+y\omega +z{\omega }^2)}^3+{(x+y{\omega }^2+z\omega )}^3=a^3+b^3$

$=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$=(a+b)(a^2+b^2-ab)$

$=(a+b)\left\{\right(a+b{)}^2-2ab-ab\}$

$=(a+b)\left\{\right(a+b{)}^2-3ab\}$

এখন,

$a+b=(x+y\omega +z{\omega }^2)+(x+y{\omega }^2+z\omega )$

$=2x+y(\omega +{\omega }^2)+z(\omega +{\omega }^2)$

$=2x+y(-1)+z(-1)[\because 1+\omega +{\omega }^2=0\therefore \omega +{\omega }^2=-1]$

$=2x-y-z$

$=3x-(x+y+z)$

$=3x-0[\because x+y+z=0]$

$=3x$

এবং $ab=(x+y\omega +z{\omega }^2)(x+y{\omega }^2+z\omega )$

$=x^2+xy{\omega }^2+zx\omega +xy\omega +y^2{\omega }^3+yz{\omega }^2+zx{\omega }^2+yz{\omega }^4+z^2{\omega }^3$

$=x^2+xy({\omega }^2+\omega )+zx(\omega +{\omega }^2)+yz(\omega +{\omega }^2)+y^2+z^2[\because {\omega }^3=1]$

$=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$=x^2+(y+z{)}^2-2yz-yz-x(y+z)$

$=x^2+(-x{)}^2-3yz-x(-x\left)\right[\because x+y+z=0]$

$=x^2+x^2-3yz+x^2$

$=3x^2-3yz$

বামপক্ষ $={(x+y\omega +z{\omega }^2)}^3+{(x+y{\omega }^2+z\omega )}^3$

$=(a+b)\left\{\right(a+b{)}^2-3ab\}$

$=3x\left\{\right(3x{)}^2-3(3x^2-3yz)\}$

$=3x(9x^2-9x^2+9yz)$

$=3x\times 9yz$

$=27xyz=$ ডানপক্ষ

$\therefore {(x+y\omega +z{\omega }^2)}^3+{(x+y{\omega }^2+z\omega )}^3=27xyz$ (প্রমাণিত)