সৃজনশীলঃ ‘(i) y=(cos−1⁡x)2 (ii)…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y={({\cos }^{-1}x)}^2$

$x$এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1=2{\cos }^{-1}x\times \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $\sqrt{1-x^2}{y}_1=-2{\cos }^{-1}x$

বা, $(1-x^2)y_1{}^2=4{({\cos }^{-1}x)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $(1-x^2)y_1{}^2=4y[\because y={({\cos }^{-1}x)}^2]$

আবার, $x$এন্র সাপেক্ষে অন্তর্রীকরণ করে পাই,

$(1-x^2)\times 2y_1{y}_2+y_1{}^2(0-2x)=4y_1$

বা, $2(1-x^2)y_1{y}_2-2x{y}_1{}^2=4y_1$

$\therefore (1-x^2)y_2-x{y}_1=2$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2},f^{\prime \prime }\left(x\right)=0-\frac{-2}{x^3}=\frac{2}{x^3}$

গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, $f^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $1-\frac{1}{x^2}=0$

বা, $1=\frac{1}{x^2}$ বা, $x^2=1\therefore x=\pm 1$

$x=-1$হলে, $f^{\prime \prime }(-1)=\frac{2}{(-1{)}^3}=-2<0$

$\therefore x=-1$ এর জন্য ফাংশনটির গুরুমান পাওয়া যাবে।

$\therefore$গুরুমান $=f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2$

আবার, $x=1$ হলে, $f^{\prime \prime }\left(1\right)=\frac{2}{1^3}=2>0$

$\therefore x=1$ এর জন্য ফাংশনটির লঘুমান পাওয়া যারে।

$\therefore$লঘুমান $=f\left(1\right)=1+\frac{1}{1}=2$

যেহেডু $-2<2$; সেহেতু গুরুমান < লঘুমান।

অর্থাৎ, ফাংশনটির গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)