সৃজনশীলঃ ‘(i) y−2x=0(ii) x2+y2=20x.…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $y-2x=0$ ...... (i)

$x^2+y^2-20x=0$ ...... (ii)

(i) ও (ii) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2-20x+k(y-2x)=0$

বা, $x^2+y^2-(20+2k)x+ky=0$

(iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-g,-f)=(\frac{-(20+2k)}{-2},\frac{k}{-2})=(10+k,\frac{k}{-2})$.

যেহেতু (iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র y = 3 রেখার উপর অবস্থিত তাই,

$\frac{k}{-2}=3$

বা, $k=-6$

k এর মান (iii) এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2-\{20+2\times (-6\left)\right\}x-6y=0$

বা, $x^2+y^2-8x-6y=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-8x-6y=0$.

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2=20x$

বা, $x^2+y^2-20x=0$

এবং রেখার সমীকরণ, $3x+4y=24$

বা, $3x+4y-24=0$ ........ (ii)

(ii) নং রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, $3x+4y+k=0$ ...... (iii)

(i) নং হতে পাই,

$x^2+y^2+2\cdot (-10)\cdot x+2\cdot 0\cdot y+0=0$

এখানে, $g=-10,f=0$ এবং $c=0$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(10,0)$

এবং ব‍্যাসার্ধ $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{(-10{)}^2+0^2-0}=10$ একক

এখন, (iii) নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে (iii) নং রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।

$\therefore \left|\frac{3\times 10+4\times 0+k}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=10$

বা, $\left|\frac{30+k}{\sqrt{25}}\right|=10$

বা, $\frac{|30+k|}{5}=10$

বা, $|k+30|=50$

$\therefore k+30=\pm 50$

$(+)$ চিহ্ন নিয়ে,

$k+30=50$

বা, $k=50-30=20$

$\therefore k=20$

(-) চিহ্ন নিয়ে,

$k+30=-50$

বা, $k=-50-30=-80$

$\therefore k=-80$

k এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$k=20$ হলে, $3x+4y+20=0$

$k=-80$ হলে, $3x+4y-80=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $3x+4y+20=0$ এবং $3x+4y-80=0$