সৃজনশীলঃ ‘(i) y=acos⁡(Inx)+bsin⁡(Inx).(ii) f(x)=2×3−3×2−12x+30.…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$y=\mathrm{acos}(\ln x)+b\sin (\ln x)$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1=-a\sin (\ln x)\cdot \frac{1}{x}+b\cdot \frac{1}{x}\cdot \cos (\ln x)$

$\Rightarrow y_1=\frac{1}{x}(-a\sin (\ln x)+b\cos (\ln x)$

$\Rightarrow {\mathrm{xy}}_1=b\cos (\ln x)-a\sin (\ln x)$

$\Rightarrow {\mathrm{xy}}_2+y_1\cdot 1=-a\cdot \frac{1}{x}\cdot \cos (\ln x)-b\cdot \frac{1}{x}\sin (\ln x)$

$\Rightarrow {\mathrm{xy}}_2+y_1=\frac{1}{x}(-a\cdot \cos (\ln x)-b\sin (\ln x)$

$\Rightarrow x^2{y}_2+{\mathrm{xy}}_1=-(a\cos (\ln x)+b\sin (\ln x)$

$\Rightarrow x^2{y}_2+{\mathrm{xy}}_1=-y$

$\Rightarrow x^2{y}_2+{\mathrm{xy}}_1+y=0$ (proved)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=2x^3-3x^2-12x+30$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-6x-12$

$\Rightarrow f^{\prime \prime }\left(x\right)=12x-6$

চরমানের জন্য,

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 6x^2-6x-12=0$

$\Rightarrow x^2-2x-2=0$

$\Rightarrow x^2-2x+x-2=0$

$\Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0$

$\Rightarrow (x+1)(x-2)=0$

হয়$\text{ হয়, }x+1=0$

অথবা$\text{ অথবা }{f}^{\prime \prime }(-1)=12(-1)-6$

$=-18<0$

$x=-1$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর গুরুমান বিদ্যামান।

$\therefore$ গুরুমান, $f(-1)=2(-1{)}^3-3(-1{)}^2-12(-1)+30$

$=-2-3+12+30$

$=37$

$f^{\prime \prime }\left(2\right)=12.2-6$

$=18>0$

$x=2$ এর জন্য লঘুমান বিদ্যামান

$\therefore$ লঘুমান,

$f^{\prime }\left(2\right)=2\cdot 2^3-3\cdot 2^2-12\cdot 2+30$

$=16-12-24+30$

$=10$

$\therefore$ নির্ণেয় গুরুমান 37 এবং লঘুমান 10