সৃজনশীলঃ ‘I1=∫13xtan−1⁡xdx,I2=∫1exln⁡xdx এবং x2=y…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

(i)

দেওয়া আছে, $I_1={\int }_1^{\sqrt{3}}x{\tan }^{-1}xdx$ এখানে, $\int x{\tan }^{-1}xdx$

$={\tan }^{-1}x\int xdx-\int \{\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}x)\int xdx\}dx$

$=\frac{1}{2}{x}^2{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$

$=\frac{1}{2}{x}^2{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx$

$=\frac{1}{2}{x}^2{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2}$

$=\frac{1}{2}{x}^2{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x$

$\therefore {\int }_1^{\sqrt{3}}x{\tan }^{-1}xdx={[\frac{1}{2}{x}^2{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}x]}_1^{\sqrt{3}}$

$=\left\{\frac{1}{2}\right(3){\tan }^{-1}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\sqrt{3}\}$

$-(\frac{1}{2}{\tan }^{-1}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\tan }^{-1}1)$

$=(\frac{3}{2}\cdot \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{3})-(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4})$

$=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$

$=\frac{5\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5\pi -6\sqrt{3}+6)$

নির্ণেয় মান : $I_1=\frac{1}{12}(5\pi -6\sqrt{3}+6)$.

(ii)

দেওয়া আছে, $I_2={\int }_1^{\sqrt{e}}x\ln xdx$

এখানে, $\int x\ln xdx=\ln x{\int }_{xdx}-\int \left\{\frac{d}{dx}\right(\ln x)\int xdx\}dx$

$=\ln x\left(\frac{x^2}{2}\right)-\int \frac{1}{x}\frac{x^2}{2}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x}{2}dx$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}(\ln x-\frac{1}{2})$

$\therefore {\int }_1^{\sqrt{e}}x\log xdx={\left[\frac{x^2}{2}(\ln x-\frac{1}{2})\right]}_1^{\sqrt{e}}$

$=\frac{e}{2}(\ln \sqrt{e}-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}(\ln 1-\frac{1}{2})$

$=\frac{e}{2}(\frac{1}{2}\ln e-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}=\frac{e}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

নির্ণেয় মান : $I_2=\frac{1}{4}$.

দেওয়া অছে,

$x^2=y$

বা, $y=x^2$ ...... (i)

এবং $y=x+2$

(i)নং সমীকরণে $y=x+2$ বসিয়ে পাই,

$x+2=x^2$

বা, $x^2-x-2=0$

বা, $x^2-2x+x-2=0$

বা, $x(x-2)+1(x-2)=0$

বা, $(x-2)(x+1)=0$

$\therefore x=-1,2$

এখানে, $x$ এর সীমা 1 থেকে 2

ধরি,

$y_1=x+2$

$y_2=x^2$

$\therefore$ পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$={\int }_{-1}^2(y_1-y_2)dx={\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx={[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}]}_{-1}^2$

$=(\frac{2^2}{2}+2\times 2-\frac{2^3}{3})-\{\frac{(-1{)}^2}{2}+2\times (-1)-\frac{(-1{)}^3}{3}\}$

$=2+4-\frac{8}{3}-(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3})=6-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3}$

$=8-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{48-16-3-2}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ বগ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রে $\frac{9}{2}$ বর্গ একক।