সৃজনশীলঃ ‘ইয়ং এর দ্বি-চিড়…’ নটরডেম কলেজ ২০২৬ – ভৌত আলোকবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্র (এইচএসসি)

কাঁচের তৈরি একটি উভোত্তল লেন্সকে কাঁচের চেয়ে বেশি প্রতিসরণাঙ্কের মাধ্যমে রাখলে এটি অপসারী লেন্সের (অবতল লেন্স) মতো আচরণ করবে।
লেন্স প্রস্তুতকারকের সূত্র অনুসারে, লেন্সের ফোকাস দূরত্ব হলে, $\frac{1}{f}=(\frac{{\mu }_2}{{\mu }_m}-1)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$ যেখানে, ${\mu }_g$ হলো কাঁচের প্রতিসরণাঙ্ক এবং ${\mu }_m$ হলো মাধ্যমের প্রতিসরণাঙ্ক। উভোত্তল লেন্সের জন্য $(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$ রাশিটি ধনাত্মক। প্রশ্নমতে, লেন্সটিকে কাঁচের চেয়ে বেশি প্রতিসরণাঙ্কের মাধ্যমে রাখা হয়েছে, অর্থৎ ${\mu }_m>{\mu }_g$ । সুতরাং, $\frac{{\mu }_g}{{\mu }_m}<1$ । ফলে, $(\frac{{\mu }_g}{{\mu }_m}-1)$ রাশিটি ঋণাত্মক হবে। যেহেতু $\frac{1}{f}$ এর মান ঋণাত্মক, তাই ফোকাস দূরত্ব $f$ ঋণাত্মক হবে। উত্তল লেন্সের ফোকাস দূরত্ব ধনাত্মক এবং অবতল লেন্সের ফোকাস দূরত্ব ঋণাত্মক। তাই উভোত্তল লেন্সটি অপসারী লেঙ্গের (অবতল লেঙ্গ) মতো আচরণ করবে।

এখানে,
চিড়দ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $a=0.5\mathrm{mm}=0.5\times {10}^{-3}m$
চিড় হতে পর্দার দূরত্ব, D=1 m
প্রথম তরঙ্গদৈর্ঘ্য, Å${\lambda }_1=6000\AA =6000\times {10}^{-10}m$
দ্বিতীয় তরঙ্গদৈর্ঘ্য,
Å${\lambda }_2=5000\AA =5000\times {10}^{-10}m$
প্রথম ক্ষেত্রে ডোরার ক্রম, n
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ডোরার ক্রম, n+1
n -এর মান, $n=$ ?

কেন্দ্রীয় চরম হতে n তম উজ্জ্বল ডোরার দূরত্ব,

$x_n=\frac{n\lambda D}{a}.$

প্রথম ক্ষেত্রে, P বিন্দুর দূরত্ব,

$x_p=\frac{n{\lambda }_{1}D}{a}$

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, P বিন্দুর দূরত্ব,

$x_p=\frac{(n+1){\lambda }_{2}D}{a}$

যেহেতু P বিন্দুটি উভয় ক্ষেত্রেই একই, তাই

$\frac{n{\lambda }_{1}D}{a}=\frac{(n+1){\lambda }_{2}D}{a}$

বা, $n{\lambda }_1=(n+1){\lambda }_2$

বা, $n\times 6000\times {10}^{-10}=(n+1)\times 5000\times {10}^{-10}$

বা, $6000n=5000(n+1)$

বা, $6n=5n+5$

$\therefore n=5$ (Ans.)

‘গ’ হতে পাই,

P বিন্দুর দূরত্ব,

$x_p=\frac{n{\lambda }_{1}D}{a}$
$=\frac{5\times 6000\times {10}^{-10}\times 1}{0.5\times {10}^{-3}}$

বা, $x_p=6\times {10}^{-3}m$
যদি P বিন্দুতে ${\lambda }^{\prime }$ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলো ব্যবহার করে m-তম অন্ধকার ডোরা তৈরি হয়, তবে

$x_p=\frac{(2m-1){\lambda }^{\prime }D}{2a}$

এখানে,
চিড়দ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $a=0.5$

$\mathrm{mm}=0.5\times {10}^{-3}m$

চিড় হতে পর্দার দূরত্ব, $D=1m$
প্রথম তরঙ্গদৈর্ঘ্য, Å${\lambda }_1=6000\AA =6000\times {10}^{-10}m$
n-এর মান (‘গ’ হতে), n = 5
সপ্তম অন্ধকার ডোরার ক্রম, $m=7$
প্রয়োজনীয় তরঙ্গদৈর্ঘ্য, ${\lambda }^{\prime }=$ ?

বা, $6\times {10}^{-3}=\frac{(2\times 7-1){\lambda }^{\prime }\times 1}{2\times 0.5\times {10}^{-3}}$
বা, $6\times {10}^{-3}=\frac{13{\lambda }^{\prime }}{1\times {10}^{-3}}$
বা, ${\lambda }^{\prime }=\frac{6\times {10}^{-3}\times 1\times {10}^{-3}}{13}=0.461538\times {10}^{-6}m=4615.38\times$

${10}^{-10}m$
Å$\therefore {\lambda }^{\prime }=4615\AA$

সুতরাং, পরীক্ষাটিতে Å$4615\AA$ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলো ব্যবহার করলে উক্ত বিন্দুতে সপ্তম অন্ধকার বিন্দু তৈরি হবে।