সৃজনশীলঃ ‘ইঞ্জিনচালিত একটি নৌকার…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থান করে, $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$ ভেক্টরটি অবস্থান করে ঐ তলের লম্ব দিকে। $\hat{k}$ ও $\hat{j}$ আয়ত একক ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমকোণে অবস্থান করে এবং এদের ভেক্টর গুণন হচ্ছে $\hat{k}\times \hat{j}=\left(1\right)$. (1) $\sin {90}^{\circ }\hat{\eta }=\hat{\eta }$ । এখানে $\hat{\eta }$ একটি একক ভেক্টর, যার দিক $\hat{k}$ ও $\hat{j}$ ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থান করে তার লম্ব দিকে। কিন্তু এদের লম্বদিকে একক ভেক্টরটি হচ্ছে $\pm \hat{i}$।

এখানে $\hat{k}$ ও $\hat{j}$ বিপরীতক্রমে হওয়ায় ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে তৃতীয় আয়ত একক ভেক্টর অর্থাৎ, $\hat{i}$ এর ঋণাত্মক ভেক্টর কে নির্দেশ করে।

অর্থাৎ, $\hat{k}\times \hat{j}=-\hat{i}$

সুতরাং, $\hat{k}\times \hat{j}$ একটি একক ভেক্টর।

এখানে,

নৌকার বেগ = v

স্রোতের বেগ = u

স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ $=15{\mathrm{kmh}}^{-1}$

$\therefore v+u=15$ .......... (i)

অনুরূপভাবে, স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ $=5{\mathrm{kmh}}^{-1}$

$\therefore v-u=5$ ........ (ii)

(i) + (ii) থেকে পাই, $2v=20$

$\therefore v=\frac{20}{2}=10{\mathrm{kmh}}^{-1}$

আবার,

(i) হতে পাই, $u=15-v=15-10=5{\mathrm{kmh}}^{-1}$

A থেকে সোজা অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছাল লব্ধি কোণ হবে $\theta ={90}^{\circ }$ হবে।

ধরি, B বিন্দুতে পৌঁছাতে মাঝি স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে যাত্রা শুরু করেছিল।

∴ নৌকার লব্ধি বেগের দিক, $\tan \theta =\frac{v\sin \alpha }{u+v\cos \alpha }$

বা, $\tan {90}^{\circ }=\frac{10\sin \alpha }{5+10\cos \alpha }$

বা, $\frac{1}{\tan {90}^{\circ }}=\frac{5+10\cos \alpha }{10\sin \alpha }$

বা, $5+10\cos \alpha =0[\because \frac{1}{\tan {90}^{\circ }}=0]$

$\therefore \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{-5}{10}\right)={120}^{\circ }$ (Ans.)

'গ' হতে পাই, মাঝি A বিন্দু থেকে অপর পাড়ে B বিন্দুতে যেতে নৌকাটিকে স্রোতের সাথে 120° কোণে চালনা করেছিল।

এখানে,

নদীর প্রস্থ, d=5 km

‘গ’ হতে পাই,

নৌকার বেগ, $v=10km{h}^{-1}$

নৌকা ও স্রোতের মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha ={120}^{\circ }$

নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, t = ?

∴ অপর পাড়ে B বিন্দুতে পৌঁছাতে মাঝির প্রয়োজনীয় সময়, $t=\frac{d}{v\sin \alpha }$

$=\frac{5}{10\sin {120}^{\circ }}$

$=0.577\mathrm{hr}$

এখন, B বিন্দু থেকে 5 km দূরের C বিন্দু থেকে অপর ব্যক্তি উক্ত সময়ে B বিন্দুতে পৌঁছাতে পারলে তাদের সাক্ষাৎ হওয়া সম্ভব।

অপর ব্যক্তির B বিন্দুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় t' হলে, 

$t^{\prime }=\frac{S}{v^{\prime }}$

$=\frac{5}{4}=1.25\mathrm{hr}$

সুতরাং, দেখা যাচ্ছে যে, t' > t

অর্থাৎ, অপর ব্যক্তি B বিন্দুতে আসার পূর্বেই মাঝি B বিন্দুতে পৌঁছে গিয়েছিল। সেক্ষেত্রে মাঝি যদি B বিন্দুতে পৌঁছার পর আরও (1.25-0.577)= 0.67 hr বা $(0.67\times 60)=40$ মিনিট অপেক্ষা করে তাহলে অপর ব্যক্তির সাথে সাক্ষাৎ হবে। কিন্তু মাঝি যদি 40 মিনিট পার হওয়ার পূর্বেই অন্য কোনো গন্তব্যের উদ্দেশ্যে যাত্রা করে, তাহলে অপর ব্যক্তির সাথে সাক্ষাৎ হবে না।