সৃজনশীলঃ ‘…’ যশোর বোর্ড ২০১৭ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বৃত্তটি যেহেতু উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে

$\therefore h=k=r$

চিত্র অনুযায়ী $h=4$

$\therefore h=k=r=4$

$\therefore$ বৃত্তের কেন্দ্র $C(4,k)\equiv (4,4)$

E ও F বিন্দু যথাক্রমে বৃত্তের পরিধির উপর x ও y অক্ষে অবস্থিত।

$\therefore E(4,0)$ এবং $F(0,4)$

$C(4,4),E(4,0)$ এবং $F(0,4)$ বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$

বৃত্তটি $C(4,4),E(4,0)$ এবং $F(0,4)$ দিয়ে যায়।

অর্থাৎ $4^2+4^2+2\times g\times 4+2\times f\times 4+c=0$

বা, $8g+8f+32+c=0\dots \dots$ (i)

আবার, $4^2+0^2+2\times g\times 4+2\times f\times 0+c=0$

বা, $8g+16+c=0\dots \dots$ (ii)

এবং $0^2+4^2+2\times g\times 0+2\times f\times 4+c=0$

বা, $8f+16+c=0\dots \dots$ (iii)

(i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$8g+8f+32+c-8g-16-c=0$

বা, $8f+16=0\therefore f=-2$

(i) হতে (iii) বিয়োগ করে পাই, 

$8g+8f+32+c-8f-16-c=0$

বা, $8g+16=0\therefore g=-2$

$g$ এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই,

$8(-2)+16+c=0\therefore c=0$

$\therefore$ নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+2\times (-2)x+2\times (-2)y+0=0$

$\therefore x^2+y^2-4x-4y=0\text{ (Ans.) }$

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, $(x-4{)}^2+(y-4{)}^2=4^2$

বা, $x^2-8x+16+y^2-8y+16-16=0$

$\therefore x^2+y^2-8x-8y+16=0$

এখানে, $g=-4,f=-4$ ও $c=16$

$(\frac{8}{5},\frac{4}{5})$ বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ,

$x\times \frac{8}{5}+y\times \frac{4}{5}+(-4)(x+\frac{8}{5})+(-4)(y+\frac{4}{5})+16=0$

বা, $\frac{8x}{5}+\frac{4y}{5}-4x-\frac{32}{5}-4y-\frac{16}{5}+16=0$

বা, $8x+4y-20x-32-20y-16+80=0$

বা, $-12x-16y+32=0$

$\therefore 3x+4y-8=0\dots \dots$ (i)

(i) নং রেখাটির সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, $

3 x+4 y+k_1=0 ldots ldots$ (ii)

প্রদত্ত বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = $\sqrt{(-4{)}^2+(-4{)}^2-16}$

$=\sqrt{32-16}=4$

$\therefore$ ব্যাস $=2\times 4=8$

(i) ও (ii) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধবত্তী দূরত্ব $=8$

$\therefore \frac{|-8-k_1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=8$

বা, या$\frac{|-8-k_1|}{5}=8\text{ या, }-8-k_1=\pm 40$

$\therefore k_1=-8\pm 40$

নিয়ে, $k_1=-8+40=32$

নিয়ে, $k_1=-8-40=-48$

চিত্র অনুযায়ী $k_1=-48$

$\therefore$ নির্ণেয় সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ,

$3x+4y-48=0$

$\therefore 3x+4y=48\text{ (Ans.) }$