সৃজনশীলঃ ‘…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $AB$ কে P ও Q বিন্দুদ্বয় সমত্রিখন্ডিত করে। $P,AB$ কে $1:2$ অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করে।

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{1.0+2(-4)}{1+2},\frac{1.3+2.0}{1+2})=(\frac{-8}{3},1)$

$Q,PB$ এর মধ্যবিন্দু

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থনাঙ্ক $=(\frac{-\frac{8}{3}+0}{2},\frac{1+3}{2})=(\frac{-4}{3},2)$

$\therefore △OPQ$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}\frac{-4}{3}& 2& 1\\ \frac{-8}{3}& 1& 1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{0+0+1(-\frac{4}{3}+\frac{16}{3})\}$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{-4+16}{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\times \frac{12}{3}=\frac{1}{2}\times 4=2$ বর্গ একক।

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক।

$AB$ রেখার সমীকরণ $\frac{x}{-4}+\frac{y}{3}=1$

বা, $3x-4y=-12$

বা, $3x-4y+12=0.........\left(i\right)$

বা, $y=\frac{3}{4}x+3$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_1=\frac{3}{4}$

ধরি, $(-1,2)$ বিন্দুগামী রেখা

$y-2=m(x+1)........\left(ii\right)$

(i) ও (ii) এর মধ্যবর্তী কোণ ${45}^{\circ }$ হলে,

$\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m-m_1}{1+m\cdot m_1}$

বা, $1=\pm \frac{m-\frac{3}{4}}{1+\frac{3m}{4}}=\pm \frac{4m-3}{4-3m}$

বা, $4+3m=\pm (4m-3)$

(+) নিয়ে, $4+3m=4m-3$

বা, $-m=-7$

বা, $m=7$

(-) নিয়ে, $4+3m=-4+3$

বা, $7m=-1$

বা, $m=\frac{-1}{7}$

(ii) নং এ $m$ এর মান বসিয়ে পাই,

$m=7$ হলে,

$y-2=7(x+1)$

বা, $y-2=7x+7$

বা, $7x-y+9=0$

$m=\frac{-1}{7}$ হলে,

$y-2=\frac{-1}{7}(x+1)$

বা, $7y-14=-x-1$

বা, $x+7y-13=0$

নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ $7x-y+9=0$ এবং, $x+7y-13=0$