সৃজনশীলঃ ‘…’ যশোর বোর্ড ২০২১ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

যে ভেক্টরের মান শূণ্য তাকে নাল বা শূণ্য ভেক্টর- বলা হয়। ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় ব্যাবস্থায় Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর হছে  $\hat{k}$

K, k ভেক্টর দুটি একই সরলরেখায় অবস্থান করায় এবং একই দিক নির্দেশ করায় এদের ধারণকারী সাধারণ দল খুঁজে পাওয়া সম্ভব নয়

$\begin{array}{cc}& \hat{k}\times \hat{k}=\hat{\eta }\left(i\right)\left(i\right)\sin 0^{\circ }=0\\ & \hat{k}\times \hat{k}=\hat{\eta }\left(1\right)\left(1\right)\sin 0^{\circ }=0\end{array}$

যেহেতু, $\hat{k}\times \hat{k}$এর মান শূণ্য। তাই $\hat{k}\times \hat{k}$একটি নাল ভেক্টর। 

যেহেতু,$\hat{k}\times \hat{k}$এর মান শূণ্য।তাই লম্বা ভেক্টরের দিক ও নির্দেশ করার সম্ভব নয়

এখানে মূলবিন্দু O এর সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\\ & \begin{array}{cc}\left|\right(\overrightarrow{\mathrm{OP}})|=\mathrm{OP}=& \sqrt{(2{)}^2+(2{)}^2+(-1{)}^2}\\ =& \sqrt{4+4+1}\\ =& \sqrt{9}\\ =& 3\end{array}\end{array}$

এখন, $\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}\cos \theta \\ & \Rightarrow (2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\cdot 6\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}=3\times 7\\ & \times \cos \theta \\ & \Rightarrow 12-6-2=21\cos \theta \\ & \Rightarrow \cos \theta =\left(\frac{4}{21}\right)\\ & \Rightarrow \theta ={79.01}^{\circ }\end{array}$

গ হতে পাই

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\\ & \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=6\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\\ & \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\end{array}$

এবং,

$\begin{array}{cc}& =(6\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k})-(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\\ & =(4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k})\end{array}$

$(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}}),\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0$

হলে, বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান- ভেক্টর একই সমতলে অবস্থানকরবে। 

এখন,

$\begin{array}{cc}(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}})& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 2& -1\\ 6& -3& 2\end{array}\right|\\ & =\hat{ı}(4-3)-\hat{j}(4+6)+\hat{k}(-6-12)\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\hat{i}-10\hat{j}-18\hat{k}$

আবার, $(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

           $\begin{array}{cc}& =(\hat{i}-10\hat{j}-18\hat{k})\cdot (4\hat{i}-5\hat{j}+3\hat{k})\\ & =4\times 1+(-5)\times (-10)+3\times (-18)\\ & =4+50-54=0\end{array}$

$\therefore (\overrightarrow{\mathrm{OP}}\times \overrightarrow{\mathrm{OQ}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0$

অতএব, উদ্দীপক অনুসারে $\overrightarrow{\mathrm{OP}},\overrightarrow{\mathrm{PQ}},\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে।