সৃজনশীলঃ ‘…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $A(5,0)$ এবং $B(0,7)$

$\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ,

$\frac{x-5}{5-0}=\frac{y-0}{0-7}$

বা, $\frac{x-5}{5}=\frac{y}{-7}$

বা, $-7x+35=5y$

$\therefore 7x+5y-35=0$ .......... (i)

বা, $5y=-7x+35$

বা, $y=-\frac{7}{5}+7$

$\therefore \mathrm{AB}$ রেখার ঢাল $=-\frac{7}{5}$

$(7,9)$ বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$y-9=m(x-7)$ ............ (ii)

রেখাটির ঢাল $=m$

$\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m+\frac{7}{5}}{1-m\cdot \frac{7}{5}}$

বা, $1=\pm \frac{\frac{5m+7}{5}}{\frac{5-7m}{5}}$

বা, $1=\pm \frac{5m+7}{5-7m}$

বা, $5-7m=\pm (5m+7)$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$5-7m=5m+7$

বা, $7m+5m=5-7$

বা, $12m=-2$

বা, $m=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6}$

$\therefore m=-\frac{1}{6}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$5-7m=-5m-7$

বা, $7m-5m=5+7$

বা, $2m=12$

$\therefore m=6$

m-এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$m=-\frac{1}{6}$ হলে,

$y-9=-\frac{1}{6}(x-7)$

বা, $6y-54=-x+7$

বা, $x+6y-54-7=0$

$\therefore x+6y-61=0$

$m=6$ হলে,

$y-9=6(x-7)$

বা, $y-9=6x-42$

বা, $6x-y-42+9=0$

$\therefore 6x-y-33=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x+6y-61=0,6x-y-33=0$

‘খ’ হতে প্রাপ্ত,

AB রেখার সমীকরণ, $7x+5y-35=0$ ............ (i)

এবং $\mathrm{AB}$ রেখার ঢাল $=-\frac{7}{5}$

D বিন্দু $\mathrm{AB}$ রেখার বর্ধিতাংশের উপর অবস্থিত বলে, $\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ ও ঢাল AB রেখার সমীকরণ ও ঢাল একই হবে।

আবার, $\mathrm{AD}$ রেখার ওপর $\mathrm{CD}$ রেখা লম্ব বলে,

CD রেখার ঢাল $=\frac{5}{7}$

এখন, $(-4,5)$ বিন্দুগামী এবং $\frac{5}{7}$ ঢাল বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

$y-y_1=m(x-x_1)$

বা, $y-5=\frac{5}{7}(x+4)$

বা, $7y-35=5x+20$

বা, $5x-7y+20+35=0$

$\therefore 5x-7y+55=0$ .......... (ii)

এখন, (i) নং ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দুই হবে D বিন্দুর স্থানাঙ্ক

(i)নং কে 7 দ্বারা এবং (ii)নং কে 5 দ্বারা গুণ করে যোগ করি

$49x+35y-245=0$

$\underset{―}{25x-35y+275=0}$

(যোগ করে) $74x+30=0$

বা, $x=-\frac{30}{74}=-\frac{15}{37}$

$\therefore x=-\frac{15}{37}$

$x$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$7\times (-\frac{15}{37})+5y-35=0$

বা, $-\frac{105}{37}+5y-35=0$

বা, $5y=35+\frac{105}{37}=\frac{1295+105}{37}=\frac{1400}{37}$

বা, $y=\frac{1400}{37\times 5}=\frac{280}{37}$

$\therefore y=\frac{280}{37}$

$\therefore$ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{15}{37},\frac{280}{37})$

নির্ণেয় D বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{15}{37},\frac{280}{37})$