সৃজনশীলঃ ‘যদি f(x) =…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৭ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ax² + bx + c = 0 ........ (i)

(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয়  $\alpha ,\beta$ হলে $\alpha +\beta =\frac{-b}{a}$

বা, $a\alpha +a\beta =-b$

বা, $a\alpha +b=-a\beta$......... (ii)

আবার, $a\beta +b=-a\alpha$......... (iii)

এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$ ......... (iv)

এখন, $(a\alpha +b{)}^{-3}+(a\beta +b{)}^{-3}=(-a\beta {)}^{-3}+(-a\alpha {)}^{-3}$

$\begin{array}{cc}& =-\frac{1}{a^3{\beta }^3}-\frac{1}{a^3{\alpha }^3}\\ & =-\frac{1}{a^3}(\frac{1}{{\beta }^3}+\frac{1}{{\alpha }^3})=-\frac{1}{a^3}\left(\frac{{\alpha }^3+{\beta }^3}{{\alpha }^3{\beta }^3}\right)\\ & =-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )}{(\alpha \beta {)}^3}\right\}\\ & =-\frac{1}{a^3}\left\{\frac{{\left(\frac{-b}{a}\right)}^3-3\cdot \frac{c}{a}\cdot \left(\frac{-b}{a}\right)}{{\left(\frac{c}{a}\right)}^3}\right\}\\ & =-\frac{1}{a^3}\frac{(\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3bc}{a^2})}{\frac{c^3}{a^3}}\\ & =-\frac{1}{a^3}\left(\frac{-b^3+3abc}{a^3}\right)\times \frac{a^3}{c^3}\end{array}$

$=\frac{b^3-3abc}{a^3{c}^3}$ (দেখানো হলো)

মনে করি, cx² + bx + a = 0 এর একটি মূল α

তাহলে, শর্তানুযায়ী, ax² + bx + c = 0 এর একটি মূল 2α।

সুতরাং, α দ্বারা cx² + bx + a = 0 এবং 2α দ্বারা ax² + bx + c = 0 সমীকরণ সিদ্ধ হবে। অর্থাৎ,

$c{\alpha }^2+b\alpha +a=0$ ... (i)

$4a{\alpha }^2+2b\alpha +c=0$  ... (ii)

(i) ও (ii) নং হতে বজ্রগুণন প্রক্রিয়ায় পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{bc-2ab}=\frac{\alpha }{4a^2-c^2}=\frac{1}{2bc-4ab}$

$\therefore \alpha =\frac{bc-2ab}{4a^2-c^2}$ [১ম ও ২য় অনুপাত হতে]

এবং $\alpha =\frac{4a^2-c^2}{2bc-4ab}$ [২য় ও ৩য় অনুপাত হতে]

সুতরাং, আমরা পাই,  $\frac{bc-2ab}{4a^2-c^2}=\frac{4a^2-c^2}{2bc-4ab}$

বা, $(bc-2ab)(2bc-4ab)={(4a^2-c^2)}^2$
বা, $2b^2(c-2a{)}^2=(c-2a{)}^2(c+2a{)}^2$
বা, $2b^2(c-2a{)}^2-(c-2a{)}^2(c+2a{)}^2=0$
বা, $(c-2a{)}^2\{2b^2-(2a+c{)}^2\}=0$

হয়, $(c-2a{)}^2=0$       
বা, c-2a=0

অথবা, $2b^2-(2a+c{)}^2=0$
বা, $(2a+c{)}^2=2b^2$

$\therefore 2a=c$ 

$\therefore 2a=c$ অথবা, $(2a+c{)}^2=2b^2$ (প্রমাণিত)