সৃজনশীলঃ ‘…’ ঝিনাইদহ ক্যাডেট কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$A(4,-2)$ও $B(-3,2)$বিন্দুগামী $\mathrm{AB}$রেখার সমীকরণ,

$\frac{x-4}{4+3}=\frac{y+2}{-2-2}$বা, $\frac{x-4}{7}=\frac{y+2}{-4}$

বা, $-4x+16=7y+14$

$\therefore 4x+7y-2=0$ ...... (i)

(i) নং রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$7x-4y+k=0.....\left(ii\right)$

(ii) নং রেখা $D(2,4)$বিন্দুগামী হলে, $7\times 2-4\times 4+k=0$

বা, $14-16+k=0\therefore k=2$

$k$এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$7x-4y+2=0.....\left(iii\right)$

চিত্র হতে পাই, (iii) নং রেখা y অক্ষকে P বিন্দুতে ছেদ করে।

সুতরাং P বিন্দুর ভুজ শূন্য হবে।

$\therefore 7\times 0-4y+2=0$বা, $4y=2\therefore y=\frac{1}{2}$

$\therefore P$বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{1}{2})$ (Ans.)

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ........ (i)

(i) নং বৃত্ত $A(4,-2),B(-3,2)$ও $D(2,4)$বিন্দু দেয় যায়, $4^2+(-2{)}^2+8g-4f+c=0$

বা, $8g-4f+c+20=0$. ...... (ii)

আবার, $(-3{)}^2+2^2-6g+4f+c=0$

বা, $-6g+4f+c+13=0$ ...... (iii)

এবং $2^2+4^2+4g+8f+c=0$

বা, $4g+8f+c+20=0$. ...... (iv)

(ii) - (iii) হতে পাই, $14g-8f+7=0$ ..... (v)

আবার, (iv) - (iii) হতে পাই, $10g+4f+7=0$

বা, $20g+8f+14=0$ ..... (vi)

$\left(vi\right)+\left(v\right)$হতে পাই, $34g+21=0$ বা, $g=\frac{-21}{34}$

$g=\frac{-21}{34}$, (vi) নং এ বসিয়ে পাঁই, $20\left(\frac{-21}{34}\right)+8f+14=0$

বা, $\frac{-210}{17}+8f+14=0$বা, $8f=\frac{210}{17}-14$

বা, $8f=\frac{210-238}{17}\therefore f=-\frac{7}{34}$

$f$ও $g$এর মান (iv) নং এ বসিয়ে পাই,

$4\left(\frac{-21}{34}\right)+8(-\frac{7}{34})+c+20=0$ বা, $\frac{-84}{34}-\frac{56}{34}+c+20=0$

বা, $\frac{-140}{34}+20+c=0$ বা, $\frac{-140+680}{34}+c=0$

বা, $\frac{540}{34}+c=0$বা, $c=-\frac{270}{17}$

$g=\frac{-21}{34},f=\frac{-7}{34}$ওc= $\frac{-270}{17}$এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\left(\frac{-21}{34}\right)x+2\left(\frac{-7}{34}\right)y-\frac{270}{17}=0$

বা, $x^2+y^2-\frac{21}{17}x-\frac{7}{17}y-\frac{270}{17}=0$

$\therefore 17x^2+17y^2-21x-7y-270=0$

যা নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ। (Ans.)