সৃজনশীলঃ ‘…’ ঝিনাইদহ ক্যাডেট কলেজ ২০২৪ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\mathrm{MN}$রেখার সমীকরণ, $x+3y=9$

বা, $x+3y-9=0.....\left(i\right)$

(i) নং রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ,

$x+3y+k=0.....\left(ii\right)$

(i) নং ও (ii) নং রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব

$=\frac{|k+9|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|k+9|}{\sqrt{10}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{|k+9|}{\sqrt{10}}=5$

বা, $k+9=\pm 5\sqrt{10}$

$\therefore k=-9\pm 5\sqrt{10}$

$k$এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x+3y-9\pm 5\sqrt{10}\text{ (Ans.) }$

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, $x+3y=9$ বা, $\frac{x}{9}+\frac{y}{3}=1$

রেখাটি $x$ও $y$অক্ষকে $M$ও $N$বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore M$বিন্দুর স্থানাঙ্ক$(9,0)$এবং $N$বিন্দুর স্থানাঙ্ক$(0,3)$

$\mathrm{MN}$রেখাংশের সমত্রিখণ্ডক বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে $P$ও $Q$হলে, $P$ও $Q$বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে খন্ডিতাংশকে $1:2$ এবং $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore P$বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{1\times 0+18}{3},\frac{1\times 3+0}{3})$বা, $(6,1)$

এবং $Q$বিন্দুর স্থানাঙ্ক$(\frac{2\times 0+9\times 1}{3},\frac{2\times 3+0\times 1}{3})$বা, $(3,2)$

সুতরাং $O(0,0)$এবং $P(6,1)$বিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ,

$\frac{x-0}{0-6}=\frac{y-0}{0-1}$বা, $-x=-6y\therefore x-6y=0$ (Ans.)

আবার, $O(0,0)$এবং $Q(3,2)$বিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ, $\frac{x-0}{0-3}=\frac{y-0}{0-2}$

বা, $-2x=-3y\therefore 2x-3y=0$ (Ans.)