সৃজনশীলঃ ‘যখনযখনf(x)={x2 যখন x<0x…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত ফাংশন,

যখনযখন$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^2\text{ যখন }x<0\\ x\text{ যখন }0\le x\le 1\end{array}$

$x=0$ হলে, $f\left(x\right)=x$

$\therefore F\left(0\right)=0$

এখন, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)$

$\underset{x\to 0+}{lim}x$

$=0$

আবার, $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$

$=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{x}^2$

$=0$

$\therefore \underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$

$\therefore$ ফাংশনটি x = 0 বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন। (Showed)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=3x^3-6x^2-5x+1$

$g^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}(3x^2-6x^2-5X+1)$

$\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=9x^2-12x-5$

$\Rightarrow g^{\prime \prime }\left(x\right)=18x-12$

চরম মানের জন্য,

$g^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 9x^2-12x-5=0$

$\Rightarrow 9x^2-15x+3x-5=0$

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow 3x(3x-5)+1(3x-5)=0\\ & \Rightarrow (3x-5)(3x+1)=0\end{array}$

হয়, $3x-45=0$ অথবা, $3x+1=0$

$\Rightarrow x=\frac{5}{3}\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$

$x=\frac{5}{3}$ হলে,

g" $\left(\frac{5}{3}\right)=18\times \frac{5}{3}-12$

$=18>0$

$\therefore x=\frac{5}{3}$বিন্দুতে g(x) এর লঘুমান বিদ্যামন।

$\therefore$ লঘুমান $=3{\left(\frac{5}{3}\right)}^3-6{\left(\frac{5}{3}\right)}^3-5\cdot \frac{5}{3}+1$

$=\frac{125}{9}-\frac{50}{3}-\frac{25}{3}+1$

$=-\frac{91}{9}$

আবার, $x=-\frac{1}{3}$ হলে,

$g^{\prime \prime }(-\frac{1}{3})=18\frac{-1}{3}-12$

$=-18<0$

$\therefore x=-\frac{1}{3}$ এর জন্য গুরুমান বিদ্যামান।

গুরুমান$\begin{array}{cc}\therefore \text{ গুরুমান }& =3{(-\frac{1}{3})}^3-6{(-\frac{1}{3})}^3-5(-\frac{1}{3})+1\\ & =-\frac{1}{9}-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}+1\\ & =\frac{17}{9}\end{array}$

$\therefore$ নির্ণেয় চরম মানসমূহ $\frac{-91}{9}$ (লঘুমান) ও $\frac{17}{9}$ (গুরুমান)