সৃজনশীলঃ ‘K(−3,4),L(6,4),M(5,−5) এবং N(−4,−5)…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বিঃদ্র: A, B, C এবং D এর পরিবর্তে যথাক্রমে K, L, M এবং N হবে]

দেওয়া আছে, $A(-3,4),B(6,4),C(5,5)$ এবং $D(-4,-5)$ একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

বিন্দু চারটি $xy$ সমতলে স্থাপন করে দেখানো হলো।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $=\sqrt{(-3-6{)}^2+(4-4{)}^2}$

$=\sqrt{(-9{)}^2+0}$ একক $=\sqrt{81}=9$ একক

AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-3+4{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{1^2+9^2}$ একক $=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}$ একক

$\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(5+4{)}^2+(-5+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{9^2+0}$ একক $=\sqrt{81}$ একক $=9$ একক

$\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-5{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{1^2+9^2}$ একক $=\sqrt{1+81}$ একক $=\sqrt{82}$ একক

$\therefore \mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য এবং AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য।

$\therefore \mathrm{ABCD}$ চতুর্ভুজটি আয়ত বা সামান্তরিক।

এখন, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-3-5{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-8{)}^2+9^2}$ একক

$=\sqrt{64+81}$ একক $=\sqrt{145}$ একক

এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+4{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{{10}^2+9^2}$ একক

$=\sqrt{100+81}$ একক $=\sqrt{181}$ একক

যেহেতু কর্ণ AC $\ne$ কর্ণ BD

অতএব, ABCD চতুর্ভুজটি সামান্তরিক।

KL রেখার সমীকরণ, $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-4}{x+3}=\frac{4-4}{-3-6}$

বা, $\frac{y-4}{x+3}=\frac{0}{-9}$

বা, $-9(y-4)=0$

বা, $y-4=0$

$\therefore y=4$

ধরি, KL রেখা y-অক্ষকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
y -অক্ষে ভুজ $x=0$.

$\therefore E$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,4)$

আবার, LM রেখার সমীকরণ,

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-4}{x-6}=\frac{4+5}{6-5}$

বা, $\frac{y-4}{x-6}=\frac{9}{1}$

বা, $y-4=9x-54$

বা, $9x-y-54+4=0$

$\therefore 9x-y-50=0$

ধরি, LM রেখা $x$ অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে । $x$ -অক্ষে কোটি $y=0$.

$9x-0-50=0$

অর্থাৎ, $9x-0-50=0$

বা, $9x=50$

$\therefore x=\frac{50}{9}$

$\therefore F$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{50}{9},0)$.

এখন, প্রথম চতুর্ভাগে $F(\frac{50}{9},0),L(6,4),E(0,4)$ এবং $O(0,0)$

বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত FLEO চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\left|\begin{array}{ccccc}\frac{50}{9}& 6& 0& 0& \frac{50}{9}\\ 0& 4& 4& 0& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{(\frac{200}{9}+24+0+0)-(0+0+0+0\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{200}{9}+24)$

$=\frac{1}{2}\times \frac{416}{9}=\frac{208}{9}$ বর্গ একক 

KLMN চতুর্ভুজের যে অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল $\frac{208}{9}$ বর্গ একক।