সৃজনশীলঃ ‘কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ভেক্টর ক্যালকুলাস বহুল ব্যবহৃত অপারেটরটি হচ্ছে-

$\overrightarrow{\nabla }=(\hat{ı}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{ȷ}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})$

যদি কোন স্থানের একটি বিন্দুকে একটি অন্তরীকরণযোগ্য রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তাহলে তার গ্রেডিয়েন্ট হল-

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\nabla }\phi =(\hat{ı}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{ȷ}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z})\phi \\ & \Rightarrow \overrightarrow{\nabla }\phi =(\hat{ı}\frac{\partial \phi }{\partial x}+\hat{ȷ}\frac{\partial \phi }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial \phi }{\partial z})\end{array}$

এটি একটি ভেক্টর রাশি এর মান অবস্থানের সাপেক্ষে ওই স্কেলার রাশির সর্বোচ্চ বৃদ্ধি হার নির্দেশ করে তাছাড়া এই বৃদ্ধি হারের দিকে হবে স্কেলার রাশিটি রেডিয়েন্ট এর দিক এভাবে ভেক্টর অপারেটর স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে রুপান্তর করা হয়।

এখানে, O,P,Q বিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে $(0,0,0),(2,4,2),(2,-$$4,-4)$।

$\therefore$ P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{OP}& =(2-0)\hat{ı}+(4-0)\hat{ȷ}+(2-0)\hat{k}\\ & =2\hat{ı}+4\hat{ȷ}+2\hat{k}\end{array}$

Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{OQ}& =(2-0)\hat{ı}+(-4-0)\hat{ȷ}+(-4-0)\hat{k}\\ & =2\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k}\\ \therefore \overrightarrow{PQ}& =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\\ & =(2\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k})-(2\hat{ı}+4\hat{ȷ}+2\hat{k})\\ & =2\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k}-2\hat{ı}-4\hat{ȷ}-2\hat{k}\\ & =-8\hat{ȷ}-6\hat{k}\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{PQ}$ এর মান,

$\begin{array}{cc}\left|\overrightarrow{PQ}\right|& =\sqrt{(-8{)}^2+(-6{)}^2}\\ & =\sqrt{64+36}\\ & =\sqrt{100}\\ & =10\text{ [Ans.] }\end{array}$

‘গ’ হতে পাই,

P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{OP}=2\hat{ı}+4\hat{ȷ}+2\hat{k}$

Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{OQ}=2\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k}$

আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ডট গুননের মান শূন্য হলে ভেক্টর দুটি পরস্পরের উপর লম্ব হবে।

এখন,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=(2\hat{ı}+4\hat{ȷ}+2\hat{k})\cdot (2\hat{ı}-4\hat{ȷ}-4\hat{k})\\ & =2\times 2+4\times (-4)+2\times (-4)\\ & =4-16-8\\ & =-20\end{array}$

যেহেতু তাদের ডট গুনন শূন্য নয়।

সুতরাং P ও Q এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে না।