সৃজনশীলঃ ‘K=cos⁡P+cos⁡R…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P+Q+R=\pi ,k=\cos P+\cos R$

বামপক্ষ

$\begin{array}{cc}& =k-1+\cos Q\\ & =\cos P+\cos R-1+\cos Q\\ & =\cos P+\cos Q+\cos R-1\\ & =(1-2{\sin }^2\frac{P}{2})+(1-2{\sin }^2\frac{Q}{2})+\cos [\pi -(P+Q\left)\right]-1\\ & =2-2{\sin }^2\frac{P}{2}-2{\sin }^2\frac{Q}{2}-\cos (P+Q)-1\\ & =2-2{\sin }^2\frac{P}{2}-2{\sin }^2\frac{Q}{2}-\cos P\cos Q+\sin P\sin Q-1\\ & =2-2{\sin }^2\frac{P}{2}-2{\sin }^2\frac{Q}{2}-(1-2{\sin }^2\frac{P}{2})\\ & (1-2{\sin }^2\frac{Q}{2})+4\sin \frac{P}{2}\cos \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\cos \frac{Q}{2}-1\end{array}$

$\begin{array}{cc}& =2-2{\sin }^2\frac{P}{2}-2{\sin }^2\frac{Q}{2}-1+2{\sin }^2\frac{Q}{2}+2{\sin }^2\frac{P}{2}\\ & -4{\sin }^2\frac{P}{2}{\sin }^2\frac{Q}{2}+4\sin \frac{P}{2}\cos \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\cos \frac{Q}{2}-1\\ & =4\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}(\cos \frac{P}{2}\cos \frac{Q}{2}-\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2})\\ & =4\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\cos \frac{P+Q}{2}\\ & =4\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{R}{2})\\ & =4\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\sin \frac{R}{2}\end{array}$

= ডানপক্ষ

$\therefore k-1+\cos Q=4\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\sin \frac{R}{2}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$K=\cos P+\cos R$

$K=\sin Q$ হলে,

$\cos P+\cos R=\sin Q$

বা, $\cos P+\cos R=\sin Q$

বা, $2\cos \frac{P+R}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q$

বা, $2\cos \frac{\pi -Q}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q$$[\because$ P Q Rএ$-এP+Q+R=\pi ]$

বা, $2\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{Q}{2})\cdot \cos \frac{P-R}{2}=\sin Q$

বা, $2\sin \frac{Q}{2}\cdot \cos \frac{P-R}{2}=2\sin \frac{Q}{2}\cdot \cos \frac{Q}{2}$

বা, $\cos \frac{P-R}{2}=\cos \frac{Q}{2}$

বা, $\frac{P-R}{2}=\frac{Q}{2}$

বা, $P-R=Q$

বা, $P=Q+R=\pi -P$

বা, $2P=\pi$

$\therefore P=\frac{\pi }{2}$

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ $\frac{\pi }{2}$ বা সমকোণ।

$\therefore △\mathrm{PQR}$ সমকোণী।