সৃজনশীলঃ ‘কোনো বিন্দুতে ক্রিয়াশীল…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P, Q ও R বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। Q এবং R এর মধ্যবর্তী কোণ $=2\alpha$

$\therefore R$ এবং P এর মধ্যবর্তী কোণ $=\alpha$

$P$ এবং $Q$ এর মধ্যবর্তী কোণ $=2\pi -2\alpha -\alpha =2\pi -3\alpha$

$\therefore$ লামির উপপাদ্য অনুসারে, 

$\frac{P}{\sin 2\alpha }=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin (2\pi -3\alpha )}$

বা, $\frac{P}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{-\sin 3\alpha }$

বা, $\frac{P}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{-(3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha )}$

বা, $\frac{P}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin \alpha (4{\sin }^2\alpha -3)}$

বা, $\frac{P}{2\cos \alpha }=Q=\frac{R}{4{\sin }^2\alpha -3}[\because \sin \alpha \ne 0]$

১ম ও ২য় অনুপাত হতে পাই, $\frac{P}{2\cos \alpha }=Q$

বা, $\cos \alpha =\frac{P}{2Q}$

২য় ও ৩য় অনুপাত হতে পাই, $Q=\frac{R}{4{\sin }^2\alpha -3}$

বা, $R=Q(4{\sin }^2\alpha -3)$

বা, $R=Q\{4(1-{\cos }^2\alpha )-3)$

বা, $R=Q(4-4{\cos }^2\alpha -3)$

বা, $R=Q(1-4{\cos }^2\alpha )$

বা, $R=Q\{1-4{\left(\frac{P}{2Q}\right)}^2\}$

বা, $R=Q(1-4\times \frac{P^2}{4Q^2})$

বা, $R=Q(1-\frac{P^2}{Q^2})$

বা, $R=Q\left(\frac{Q^2-P^2}{Q^2}\right)$

বা, $R=\frac{Q^2-P^2}{Q}$

বা, $QR=Q^2-P^2$

বা, $P^2=Q^2-QR$

$\therefore P^2=Q(Q-R)$. (দেখানো হলো)

এখানে, ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O হতে OA,OB,OC বরাবর P,Q,R বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা তৈরি করেছে।

সাম্যাবস্থায় লামির সৃত্র হতে পাই, $\frac{P}{\sin \angle BOC}=\frac{Q}{\sin \angle AOC}=\frac{R}{\sin \angle AOB}$

বা, $\frac{P}{\sin 2\angle BAC}=\frac{Q}{\sin 2\angle ABC}=\frac{R}{\sin 2\angle ACB}$

[$\therefore$ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

বা, $\frac{P}{\sin 2A}=\frac{Q}{\sin 2B}=\frac{R}{\sin 2C}$

বা, $\frac{P}{2\sin A\cos A}=\frac{Q}{2\sin B\cos C}=\frac{R}{2\sin C\cos C}$

বা, $\frac{P}{\frac{a}{2R}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}=\frac{Q}{\frac{b}{2R}\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}=\frac{R}{\frac{c}{2R}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$

$[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ এবং $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ সূত্র হতে]

বা, $\frac{P}{\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{abc}}=\frac{Q}{\frac{b^2(c^2+a^2-b^2)}{abc}}=\frac{R}{\frac{c^2(a^2+b^2-c^2)}{abc}}$

$\therefore \frac{P}{a^2(b^2+c^2-a^2)}=\frac{Q}{b^2(a^2+c^2-b^2)}=\frac{R}{c^2(a^2+b^2-c^2)}$ (প্রমাণিত)